Решение Уравнения в Частных Производных

Вот решения задач: 5. Определить тип уравнения в частных производных: \[y \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + (2x+1) \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + y \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + 2x = 0.\] Решение: Для уравнения второго порядка вида \(A \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + B \frac{\partial^2 u}{\partial x \partial y} + C \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \dots = 0\) тип определяется знаком дискриминанта \(D = B^2 - 4AC\). В данном уравнении: \(A = y\) \(B = 2x+1\) \(C = y\) Вычислим дискриминант: \[D = (2x+1)^2 - 4 \cdot y \cdot y = (2x+1)^2 - 4y^2.\] Тип уравнения зависит от знака \(D\): * Если \(D > 0\), уравнение гиперболического типа. * Если \(D = 0\), уравнение параболического типа. * Если \(D < 0\), уравнение эллиптического типа. Рассмотрим различные случаи: * Если \((2x+1)^2 > 4y^2\), то \(D > 0\), и уравнение является гиперболическим. Это происходит, когда \(|2x+1| > |2y|\). * Если \((2x+1)^2 = 4y^2\), то \(D = 0\), и уравнение является параболическим. Это происходит, когда \(|2x+1| = |2y|\). * Если \((2x+1)^2 < 4y^2\), то \(D < 0\), и уравнение является эллиптическим. Это происходит, когда \(|2x+1| < |2y|\). Таким образом, тип уравнения зависит от значений \(x\) и \(y\). 6. Используя формулу Даламбера, решить задачу Коши: \[\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 8 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad u(x,0) = \cos\left(3x + \frac{\pi}{8}\right), \quad \frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = \sin 5x.\] Решение: Данное уравнение является волновым уравнением вида \(\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}\), где \(a^2 = 8\), следовательно \(a = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\). Формула Даламбера для решения задачи Коши с начальными условиями \(u(x,0) = \varphi(x)\) и \(\frac{\partial u}{\partial t}(x,0) = \psi(x)\) имеет вид: \[u(x,t) = \frac{1}{2}[\varphi(x-at) + \varphi(x+at)] + \frac{1}{2a} \int_{x-at}^{x+at} \psi(\xi) d\xi.\] В нашем случае: \(\varphi(x) = \cos\left(3x + \frac{\pi}{8}\right)\) \(\psi(x) = \sin 5x\) \(a = 2\sqrt{2}\) Подставим эти значения в формулу Даламбера: \[u(x,t) = \frac{1}{2}\left[\cos\left(3(x-2\sqrt{2}t) + \frac{\pi}{8}\right) + \cos\left(3(x+2\sqrt{2}t) + \frac{\pi}{8}\right)\right] + \frac{1}{2 \cdot 2\sqrt{2}} \int_{x-2\sqrt{2}t}^{x+2\sqrt{2}t} \sin 5\xi d\xi.\] Упростим первый член: \[\frac{1}{2}\left[\cos\left(3x - 6\sqrt{2}t + \frac{\pi}{8}\right) + \cos\left(3x + 6\sqrt{2}t + \frac{\pi}{8}\right)\right].\] Используя формулу \(\cos A + \cos B = 2 \cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)\): Пусть \(A = 3x + \frac{\pi}{8} - 6\sqrt{2}t\) и \(B = 3x + \frac{\pi}{8} + 6\sqrt{2}t\). Тогда \(\frac{A+B}{2} = 3x + \frac{\pi}{8}\) и \(\frac{A-B}{2} = -6\sqrt{2}t\). Значит, первый член равен: \[\frac{1}{2} \cdot 2 \cos\left(3x + \frac{\pi}{8}\right) \cos(-6\sqrt{2}t) = \cos\left(3x + \frac{\pi}{8}\right) \cos(6\sqrt{2}t).\] Теперь вычислим интеграл: \[\frac{1}{4\sqrt{2}} \int_{x-2\sqrt{2}t}^{x+2\sqrt{2}t} \sin 5\xi d\xi = \frac{1}{4\sqrt{2}} \left[-\frac{1}{5}\cos 5\xi\right]_{x-2\sqrt{2}t}^{x+2\sqrt{2}t}\] \[= -\frac{1}{20\sqrt{2}} \left[\cos(5(x+2\sqrt{2}t)) - \cos(5(x-2\sqrt{2}t))\right]\] \[= -\frac{1}{20\sqrt{2}} \left[\cos(5x+10\sqrt{2}t) - \cos(5x-10\sqrt{2}t)\right].\] Используя формулу \(\cos A - \cos B = -2 \sin\left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)\): Пусть \(A = 5x+10\sqrt{2}t\) и \(B = 5x-10\sqrt{2}t\). Тогда \(\frac{A+B}{2} = 5x\) и \(\frac{A-B}{2} = 10\sqrt{2}t\). Значит, интеграл равен: \[-\frac{1}{20\sqrt{2}} \left[-2 \sin(5x) \sin(10\sqrt{2}t)\right] = \frac{2}{20\sqrt{2}} \sin(5x) \sin(10\sqrt{2}t) = \frac{1}{10\sqrt{2}} \sin(5x) \sin(10\sqrt{2}t).\] Окончательное решение: \[u(x,t) = \cos\left(3x + \frac{\pi}{8}\right) \cos(6\sqrt{2}t) + \frac{1}{10\sqrt{2}} \sin(5x) \sin(10\sqrt{2}t).\]