Решение: Упрощение тригонометрических выражений

Хорошо, давайте упростим выражения. Упростить выражение (527-528). 527. 1) \[ \frac{\mathrm{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)-\mathrm{tg}(\pi+\alpha)+\sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)}{\cos(\pi+\alpha)} \] Используем формулы приведения: \( \mathrm{ctg}\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right) = \mathrm{tg}(\alpha) \) \( \mathrm{tg}(\pi+\alpha) = \mathrm{tg}(\alpha) \) \( \sin\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) = -\cos(\alpha) \) \( \cos(\pi+\alpha) = -\cos(\alpha) \) Подставляем в выражение: \[ \frac{\mathrm{tg}(\alpha) - \mathrm{tg}(\alpha) + (-\cos(\alpha))}{-\cos(\alpha)} = \frac{-\cos(\alpha)}{-\cos(\alpha)} = 1 \] Ответ: 1 2) \[ \frac{\sin(\pi-\alpha)+\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)+\mathrm{ctg}(\pi-\alpha)}{\mathrm{tg}\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right)} \] Используем формулы приведения: \( \sin(\pi-\alpha) = \sin(\alpha) \) \( \cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) = -\sin(\alpha) \) \( \mathrm{ctg}(\pi-\alpha) = -\mathrm{ctg}(\alpha) \) \( \mathrm{tg}\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) = \mathrm{ctg}(\alpha) \) Подставляем в выражение: \[ \frac{\sin(\alpha) + (-\sin(\alpha)) + (-\mathrm{ctg}(\alpha))}{\mathrm{ctg}(\alpha)} = \frac{\sin(\alpha) - \sin(\alpha) - \mathrm{ctg}(\alpha)}{\mathrm{ctg}(\alpha)} = \frac{-\mathrm{ctg}(\alpha)}{\mathrm{ctg}(\alpha)} = -1 \] Ответ: -1 528. 1) \[ \frac{\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) \cdot \mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\mathrm{ctg}(2\pi-\alpha) \cdot \sin(\pi+\alpha)} \] Используем формулы приведения: \( \sin\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) = -\cos(\alpha) \) \( \mathrm{tg}\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) = -\mathrm{ctg}(\alpha) \) \( \mathrm{ctg}(2\pi-\alpha) = -\mathrm{ctg}(\alpha) \) \( \sin(\pi+\alpha) = -\sin(\alpha) \) Подставляем в выражение: \[ \frac{(-\cos(\alpha)) \cdot (-\mathrm{ctg}(\alpha))}{(-\mathrm{ctg}(\alpha)) \cdot (-\sin(\alpha))} = \frac{\cos(\alpha) \cdot \mathrm{ctg}(\alpha)}{\mathrm{ctg}(\alpha) \cdot \sin(\alpha)} \] Сокращаем \( \mathrm{ctg}(\alpha) \): \[ \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = \mathrm{ctg}(\alpha) \] Ответ: \( \mathrm{ctg}(\alpha) \) 2) \[ \frac{\sin^2(\pi+\alpha)+\sin^2\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)}{\cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right)} \cdot \mathrm{ctg}\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) \] Используем формулы приведения: \( \sin(\pi+\alpha) = -\sin(\alpha) \Rightarrow \sin^2(\pi+\alpha) = (-\sin(\alpha))^2 = \sin^2(\alpha) \) \( \sin\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) = \cos(\alpha) \Rightarrow \sin^2\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right) = \cos^2(\alpha) \) \( \cos\left(\frac{3\pi}{2}+\alpha\right) = \sin(\alpha) \) \( \mathrm{ctg}\left(\frac{3\pi}{2}-\alpha\right) = \mathrm{tg}(\alpha) \) Подставляем в выражение: \[ \frac{\sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha)}{\sin(\alpha)} \cdot \mathrm{tg}(\alpha) \] Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2(\alpha)+\cos^2(\alpha) = 1 \): \[ \frac{1}{\sin(\alpha)} \cdot \mathrm{tg}(\alpha) \] Заменяем \( \mathrm{tg}(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \): \[ \frac{1}{\sin(\alpha)} \cdot \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \] Сокращаем \( \sin(\alpha) \): \[ \frac{1}{\cos(\alpha)} \] Ответ: \( \frac{1}{\cos(\alpha)} \)