Решение Системы Неравенств и График

Решим систему неравенств. Система состоит из двух неравенств: 1) \( (6x+2)-6(x+2)>2x \) 2) \( (x-7)(x+6)<0 \) Решим каждое неравенство по отдельности. Решение первого неравенства: \( (6x+2)-6(x+2)>2x \) Раскроем скобки: \( 6x+2-6x-12>2x \) Приведем подобные члены в левой части: \( (6x-6x)+(2-12)>2x \) \( 0x-10>2x \) \( -10>2x \) Разделим обе части неравенства на 2. Так как 2 - положительное число, знак неравенства не меняется: \( \frac{-10}{2} > \frac{2x}{2} \) \( -5 > x \) Или, что то же самое: \( x < -5 \) Решение второго неравенства: \( (x-7)(x+6)<0 \) Это квадратное неравенство. Найдем корни уравнения \( (x-7)(x+6)=0 \). Корни: \( x-7=0 \Rightarrow x=7 \) и \( x+6=0 \Rightarrow x=-6 \). Эти корни разбивают числовую ось на три интервала: \( (-\infty; -6) \), \( (-6; 7) \), \( (7; +\infty) \). Проверим знак выражения \( (x-7)(x+6) \) в каждом интервале. 1. Интервал \( (-\infty; -6) \). Возьмем, например, \( x=-10 \). \( (-10-7)(-10+6) = (-17)(-4) = 68 \). \( 68 > 0 \). 2. Интервал \( (-6; 7) \). Возьмем, например, \( x=0 \). \( (0-7)(0+6) = (-7)(6) = -42 \). \( -42 < 0 \). 3. Интервал \( (7; +\infty) \). Возьмем, например, \( x=10 \). \( (10-7)(10+6) = (3)(16) = 48 \). \( 48 > 0 \). Нам нужно, чтобы \( (x-7)(x+6)<0 \), то есть выражение было отрицательным. Это выполняется в интервале \( (-6; 7) \). Таким образом, решение второго неравенства: \( -6 < x < 7 \). Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств. Решение первого неравенства: \( x < -5 \) (интервал \( (-\infty; -5) \)). Решение второго неравенства: \( -6 < x < 7 \) (интервал \( (-6; 7) \)). Начертим числовую ось и отметим на ней эти интервалы. На числовой оси отметим точки -6, -5, 7. Все точки будут выколотыми, так как неравенства строгие. Для \( x < -5 \): заштрихуем область слева от -5. Для \( -6 < x < 7 \): заштрихуем область между -6 и 7. ``` <---------------------------------------------------------------------> -6 -5 0 7 ``` Решение первого неравенства: ``` <---------------------------------------------------------------------> -6 -5 0 7 <-------------o ``` (от \( -\infty \) до -5, не включая -5) Решение второго неравенства: ``` <---------------------------------------------------------------------> -6 -5 0 7 o-------------------o ``` (от -6 до 7, не включая -6 и 7) Пересечение этих двух интервалов - это область, где обе штриховки накладываются друг на друга. Это интервал от -6 до -5. ``` <---------------------------------------------------------------------> -6 -5 0 7 o-----o ``` Таким образом, общим решением системы неравенств является интервал \( (-6; -5) \). Ответ: \( x \in (-6; -5) \). График решения: На числовой прямой отметим точки -6 и -5. Обе точки будут выколотыми (пустыми кружками), так как неравенства строгие. Интервал между этими точками будет заштрихован. ``` <---------------------------------------------------------------------> -6 -5 0 7 o-----------o ``` (Заштрихованная область между -6 и -5, не включая сами точки)