Решение задачи №3: Упрощение выражений с корнями

Ниже представлено решение заданий №3, №4 и №5 из вашего варианта. Оформление выполнено так, чтобы его было удобно переписать в школьную тетрадь. №3. Упростите: а) \(\sqrt{24} - 4\sqrt{6} + \sqrt{54}\) Разложим числа под корнями на множители, из которых извлекается квадратный корень: \[\sqrt{4 \cdot 6} - 4\sqrt{6} + \sqrt{9 \cdot 6} = 2\sqrt{6} - 4\sqrt{6} + 3\sqrt{6}\] Выполним сложение и вычитание подобных слагаемых: \[(2 - 4 + 3)\sqrt{6} = 1\sqrt{6} = \sqrt{6}\] Ответ: \(\sqrt{6}\) б) \(2x - (\sqrt{x} - \sqrt{y}) \cdot (\sqrt{x} + \sqrt{y})\) Применим формулу разности квадратов \((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\): \[2x - ((\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2) = 2x - (x - y)\] Раскроем скобки, меняя знаки: \[2x - x + y = x + y\] Ответ: \(x + y\) в) \((\sqrt{x} + \sqrt{y})^2 - 2\sqrt{xy}\) Применим формулу квадрата суммы \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\): \[(\sqrt{x})^2 + 2\sqrt{x}\sqrt{y} + (\sqrt{y})^2 - 2\sqrt{xy} = x + 2\sqrt{xy} + y - 2\sqrt{xy}\] Взаимно уничтожим \(2\sqrt{xy}\) и \(-2\sqrt{xy}\): \[x + y\] Ответ: \(x + y\) №4. Решите графически уравнение: \(\sqrt{x+4} = x - 2\) Для решения построим графики двух функций: 1) \(y_1 = \sqrt{x+4}\) — это ветвь параболы, направленная вправо, смещенная на 4 единицы влево по оси \(OX\). Точки для построения: Если \(x = -4\), то \(y = 0\). Если \(x = -3\), то \(y = 1\). Если \(x = 0\), то \(y = 2\). Если \(x = 5\), то \(y = 3\). 2) \(y_2 = x - 2\) — это прямая линия. Точки для построения: Если \(x = 0\), то \(y = -2\). Если \(x = 2\), то \(y = 0\). Если \(x = 5\), то \(y = 3\). При построении графиков мы увидим, что они пересекаются в одной точке с координатами \((5; 3)\). Решением уравнения является абсцисса (значение \(x\)) точки пересечения. Ответ: \(x = 5\) №5. Упростите выражение: \[(3\sqrt{10} + 1) \cdot \left( \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{8} + \sqrt{5}} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5} - \sqrt{8}} \right)\] 1) Сначала упростим выражение во второй скобке. Заметим, что во второй дроби знаменатель можно переписать, вынеся минус: \(\sqrt{5} - \sqrt{8} = -(\sqrt{8} - \sqrt{5})\). Тогда: \[\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{8} + \sqrt{5}} + \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{8} - \sqrt{5}}\] Приведем к общему знаменателю \((\sqrt{8} + \sqrt{5})(\sqrt{8} - \sqrt{5}) = 8 - 5 = 3\): \[\frac{\sqrt{5}(\sqrt{8} - \sqrt{5}) + \sqrt{2}(\sqrt{8} + \sqrt{5})}{3} = \frac{\sqrt{40} - 5 + \sqrt{16} + \sqrt{10}}{3}\] Так как \(\sqrt{40} = \sqrt{4 \cdot 10} = 2\sqrt{10}\) и \(\sqrt{16} = 4\): \[\frac{2\sqrt{10} - 5 + 4 + \sqrt{10}}{3} = \frac{3\sqrt{10} - 1}{3}\] 2) Перемножим первую скобку и полученный результат: \[(3\sqrt{10} + 1) \cdot \frac{3\sqrt{10} - 1}{3}\] В числителе снова формула разности квадратов: \[\frac{(3\sqrt{10})^2 - 1^2}{3} = \frac{9 \cdot 10 - 1}{3} = \frac{90 - 1}{3} = \frac{89}{3} = 29\frac{2}{3}\] Ответ: \(29\frac{2}{3}\)