Решение: Реши задачу: Реши начиная с А5

Хорошо, давайте решим задачи, начиная с А5. Вариант 1 Часть 1 А5. Разложите на множители \(5\sqrt{a} - a\sqrt{5}\). Решение: Для того чтобы разложить выражение на множители, нужно найти общий множитель. Заметим, что \(a = \sqrt{a} \cdot \sqrt{a}\) и \(5 = \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}\). Тогда выражение можно переписать так: \[5\sqrt{a} - a\sqrt{5} = \sqrt{5}\sqrt{5}\sqrt{a} - \sqrt{a}\sqrt{a}\sqrt{5}\] Теперь видно, что общим множителем является \(\sqrt{5}\sqrt{a}\). Вынесем его за скобки: \[\sqrt{5}\sqrt{a}(\sqrt{5} - \sqrt{a})\] Таким образом, разложение на множители будет: \[\sqrt{5a}(\sqrt{5} - \sqrt{a})\] Сравним с предложенными вариантами: 1) \(\sqrt{5a}(\sqrt{a} - \sqrt{5})\) 2) \(\sqrt{5a}(\sqrt{5} - \sqrt{a})\) 3) \(5\sqrt{a}(\sqrt{5} - a)\) 4) \(\sqrt{5a}(\sqrt{a} - 5)\) Наш результат совпадает с вариантом 2. Ответ: 2) \(\sqrt{5a}(\sqrt{5} - \sqrt{a})\) Часть 2 В1. Найдите значение выражения \[\frac{26}{4 - \sqrt{3}} - \frac{5}{3 + 2\sqrt{2}}(10 + \sqrt{6})\] Решение: Сначала упростим каждое слагаемое по отдельности. Первое слагаемое: \(\frac{26}{4 - \sqrt{3}}\) Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(4 + \sqrt{3}\): \[\frac{26}{4 - \sqrt{3}} = \frac{26(4 + \sqrt{3})}{(4 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3})}\] Используем формулу разности квадратов \((x - y)(x + y) = x^2 - y^2\): \[(4 - \sqrt{3})(4 + \sqrt{3}) = 4^2 - (\sqrt{3})^2 = 16 - 3 = 13\] Тогда первое слагаемое равно: \[\frac{26(4 + \sqrt{3})}{13} = 2(4 + \sqrt{3}) = 8 + 2\sqrt{3}\] Второе слагаемое: \(\frac{5}{3 + 2\sqrt{2}}(10 + \sqrt{6})\) Сначала упростим дробь \(\frac{5}{3 + 2\sqrt{2}}\). Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение \(3 - 2\sqrt{2}\): \[\frac{5}{3 + 2\sqrt{2}} = \frac{5(3 - 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})}\] Используем формулу разности квадратов: \[(3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 3^2 - (2\sqrt{2})^2 = 9 - (4 \cdot 2) = 9 - 8 = 1\] Тогда дробь равна: \[\frac{5(3 - 2\sqrt{2})}{1} = 5(3 - 2\sqrt{2}) = 15 - 10\sqrt{2}\] Теперь умножим этот результат на \((10 + \sqrt{6})\): \[(15 - 10\sqrt{2})(10 + \sqrt{6})\] Раскроем скобки: \[15 \cdot 10 + 15\sqrt{6} - 10\sqrt{2} \cdot 10 - 10\sqrt{2}\sqrt{6}\] \[150 + 15\sqrt{6} - 100\sqrt{2} - 10\sqrt{12}\] Упростим \(\sqrt{12}\): \(\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}\). \[150 + 15\sqrt{6} - 100\sqrt{2} - 10(2\sqrt{3})\] \[150 + 15\sqrt{6} - 100\sqrt{2} - 20\sqrt{3}\] Теперь подставим упрощенные слагаемые обратно в исходное выражение: \[(8 + 2\sqrt{3}) - (150 + 15\sqrt{6} - 100\sqrt{2} - 20\sqrt{3})\] Раскроем скобки, меняя знаки во втором выражении: \[8 + 2\sqrt{3} - 150 - 15\sqrt{6} + 100\sqrt{2} + 20\sqrt{3}\] Сгруппируем подобные члены: \[(8 - 150) + (2\sqrt{3} + 20\sqrt{3}) - 15\sqrt{6} + 100\sqrt{2}\] \[-142 + 22\sqrt{3} - 15\sqrt{6} + 100\sqrt{2}\] Проверим, возможно, в задании есть опечатка или я что-то не так понял, так как обычно в таких задачах получается более простое числовое значение. Давайте перепроверим вычисления. Перепроверим второе слагаемое: \[\frac{5}{3 + 2\sqrt{2}}(10 + \sqrt{6})\] Мы получили \(\frac{5}{3 + 2\sqrt{2}} = 15 - 10\sqrt{2}\). Теперь умножим \((15 - 10\sqrt{2})\) на \((10 + \sqrt{6})\). \[(15 - 10\sqrt{2})(10 + \sqrt{6}) = 15 \cdot 10 + 15\sqrt{6} - 10\sqrt{2} \cdot 10 - 10\sqrt{2}\sqrt{6}\] \[= 150 + 15\sqrt{6} - 100\sqrt{2} - 10\sqrt{12}\] \[= 150 + 15\sqrt{6} - 100\sqrt{2} - 10 \cdot 2\sqrt{3}\] \[= 150 + 15\sqrt{6} - 100\sqrt{2} - 20\sqrt{3}\] Это верно. Теперь вычитаем: \[(8 + 2\sqrt{3}) - (150 + 15\sqrt{6} - 100\sqrt{2} - 20\sqrt{3})\] \[= 8 + 2\sqrt{3} - 150 - 15\sqrt{6} + 100\sqrt{2} + 20\sqrt{3}\] \[= (8 - 150) + (2\sqrt{3} + 20\sqrt{3}) - 15\sqrt{6} + 100\sqrt{2}\] \[= -142 + 22\sqrt{3} - 15\sqrt{6} + 100\sqrt{2}\] Если это задача из школьного курса, то обычно ответы получаются целыми числами или простыми иррациональными выражениями. Возможно, я неправильно прочитал условие или есть опечатка в задании. Давайте еще раз внимательно посмотрим на условие. \[\frac{26}{4 - \sqrt{3}} - \frac{5}{3 + 2\sqrt{2}}(10 + \sqrt{6})\] Все выглядит правильно. Если бы, например, \((10 + \sqrt{6})\) было \((10 - \sqrt{6})\) или что-то подобное, то могло бы сократиться. Или если бы \(\frac{5}{3 + 2\sqrt{2}}\) было \(\frac{5}{3 - 2\sqrt{2}}\). Предположим, что в задании подразумевалось, что \((10 + \sqrt{6})\) как-то упрощается с \((15 - 10\sqrt{2})\). Например, если бы было \((10 + \sqrt{6}) = \sqrt{2}(5\sqrt{2} + \sqrt{3})\). Тогда \((15 - 10\sqrt{2})\sqrt{2}(5\sqrt{2} + \sqrt{3}) = (15\sqrt{2} - 20)(5\sqrt{2} + \sqrt{3})\). Это еще сложнее. Давайте еще раз проверим, нет ли ошибки в переписывании условия. В1. Найдите значение выражения \[\frac{26}{4 - \sqrt{3}} - \frac{5}{3 + 2\sqrt{2}}(10 + \sqrt{6})\] Условие выглядит так, как я его прочитал. Если это задача из олимпиады или повышенной сложности, то такой ответ вполне возможен. Но для обычной школьной программы это необычно. Возможно, есть какая-то хитрость в \((10 + \sqrt{6})\). \((10 + \sqrt{6}) = 2(5 + \frac{\sqrt{6}}{2})\). Не очень помогает. \((10 + \sqrt{6}) = \sqrt{2}(\frac{10}{\sqrt{2}} + \sqrt{3}) = \sqrt{2}(5\sqrt{2} + \sqrt{3})\). Тогда \((15 - 10\sqrt{2})\sqrt{2}(5\sqrt{2} + \sqrt{3}) = (15\sqrt{2} - 20)(5\sqrt{2} + \sqrt{3})\). \[= 15\sqrt{2} \cdot 5\sqrt{2} + 15\sqrt{2}\sqrt{3} - 20 \cdot 5\sqrt{2} - 20\sqrt{3}\] \[= 15 \cdot 5 \cdot 2 + 15\sqrt{6} - 100\sqrt{2} - 20\sqrt{3}\] \[= 150 + 15\sqrt{6} - 100\sqrt{2} - 20\sqrt{3}\] Это тот же результат. Если бы в знаменателе второй дроби было \(3 - 2\sqrt{2}\), то: \(\frac{5}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{5(3 + 2\sqrt{2})}{9 - 8} = 15 + 10\sqrt{2}\). Тогда \((15 + 10\sqrt{2})(10 + \sqrt{6}) = 150 + 15\sqrt{6} + 100\sqrt{2} + 10\sqrt{12}\) \[= 150 + 15\sqrt{6} + 100\sqrt{2} + 20\sqrt{3}\] И тогда: \[(8 + 2\sqrt{3}) - (150 + 15\sqrt{6} + 100\sqrt{2} + 20\sqrt{3})\] \[= 8 + 2\sqrt{3} - 150 - 15\sqrt{6} - 100\sqrt{2} - 20\sqrt{3}\] \[= -142 - 18\sqrt{3} - 15\sqrt{6} - 100\sqrt{2}\] Это тоже не упрощается до целого числа. Я буду придерживаться прямого решения, так как не могу быть уверенным в наличии опечатки. Окончательный ответ для В1: \[-142 + 22\sqrt{3} - 15\sqrt{6} + 100\sqrt{2}\] Часть 3 С1. Сравните значения выражений \(\frac{1}{5}\sqrt{1325}\) и \(\frac{1}{3}\sqrt{513}\). Решение: Чтобы сравнить два выражения с корнями, удобно возвести их в квадрат или внести множитель под знак корня. Давайте внесем множители под знак корня. Первое выражение: \(\frac{1}{5}\sqrt{1325}\) Внесем \(\frac{1}{5}\) под знак корня. \(\frac{1}{5} = \sqrt{\left(\frac{1}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{25}}\). \[\frac{1}{5}\sqrt{1325} = \sqrt{\frac{1}{25} \cdot 1325}\] Вычислим произведение под корнем: \[\frac{1325}{25}\] Делим 1325 на 25: \(1325 \div 25 = 53\). Значит, первое выражение равно \(\sqrt{53}\). Второе выражение: \(\frac{1}{3}\sqrt{513}\) Внесем \(\frac{1}{3}\) под знак корня. \(\frac{1}{3} = \sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{9}}\). \[\frac{1}{3}\sqrt{513} = \sqrt{\frac{1}{9} \cdot 513}\] Вычислим произведение под корнем: \[\frac{513}{9}\] Делим 513 на 9: \(513 \div 9 = 57\). Значит, второе выражение равно \(\sqrt{57}\). Теперь нам нужно сравнить \(\sqrt{53}\) и \(\sqrt{57}\). Так как функция \(y = \sqrt{x}\) является возрастающей для \(x \ge 0\), то чем больше число под корнем, тем больше значение корня. Поскольку \(53 < 57\), то \(\sqrt{53} < \sqrt{57}\). Следовательно, \(\frac{1}{5}\sqrt{1325} < \frac{1}{3}\sqrt{513}\). Ответ: \(\frac{1}{5}\sqrt{1325} < \frac{1}{3}\sqrt{513}\)