Решение задачи: Расстояние от точки до плоскости

Задача 5.4. Определить расстояние от точки \( A \) до плоскости \( \alpha (\triangle BCD) \) способом замены плоскостей проекций. Чтобы найти кратчайшее расстояние от точки до плоскости, нужно преобразовать плоскость общего положения в проецирующую. В этом случае плоскость на чертеже выродится в прямую линию, и перпендикуляр, опущенный из точки на эту линию, будет являться искомым расстоянием в натуральную величину. Алгоритм решения для переписывания в тетрадь: 1. Построение горизонтали в плоскости треугольника: - В плоскости \( \triangle BCD \) проводим горизонталь \( h \). На фронтальной проекции проводим \( h'' \) через точку \( B'' \) параллельно оси \( X \). - Отмечаем точку пересечения \( h'' \) со стороной \( C''D'' \) (пусть это будет точка \( 1'' \)). - По линии связи находим точку \( 1' \) на стороне \( C'D' \). - Соединяем \( B' \) и \( 1' \). Прямая \( h' (B'1') \) — горизонтальная проекция горизонтали. 2. Замена плоскости проекций (преобразование плоскости в проецирующую): - Проводим новую ось \( X_1 \) перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали: \( X_1 \perp h' \). - Из всех точек \( B', C', D' \) и из точки \( A' \) проводим линии связи перпендикулярно новой оси \( X_1 \). - Откладываем от новой оси \( X_1 \) высоты точек (координаты \( z \)), взятые с фронтальной проекции (расстояния от старой оси \( X \) до точек \( A'', B'', C'', D'' \)). - Точки \( B_1, C_1, D_1 \) должны лечь на одну прямую линию. Эта линия — проекция плоскости \( \alpha \). - Отмечаем полученную точку \( A_1 \). 3. Определение расстояния: - Из точки \( A_1 \) опускаем перпендикуляр на прямую, в которую выродилась плоскость (линия \( B_1C_1D_1 \)). - Полученный отрезок является искомым расстоянием от точки \( A \) до плоскости \( \alpha \) в натуральную величину. Краткая запись этапов: 1. Построена \( h \in \alpha \). 2. Выполнена замена \( \frac{\pi_2}{\pi_1} \rightarrow \frac{\pi_4}{\pi_1} \), где \( X_1 \perp h' \). 3. Плоскость \( \alpha \) спроецировалась в прямую \( \alpha_4 \). 4. Искомое расстояние \( L = \text{dist}(A_4, \alpha_4) \).