Решение задачи 4.8 (б): Пересечение прямой и конуса

Для решения пункта б) задачи 4.8 (пересечение прямой с конусом) используется метод вспомогательных секущих плоскостей. В данном случае удобнее всего использовать вспомогательную плоскость частного положения — горизонтальную плоскость. Алгоритм решения (запишите в тетрадь под цифрами 1, 2, 3): \[ 1. \text{ } \Sigma \subset l \text{ (заключаем прямую во вспомогательную плоскость)} \] \[ 2. \text{ } \Phi \cap \Sigma = a \text{ (находим линию пересечения плоскости с конусом)} \] \[ 3. \text{ } a \cap l = \{M, N\} \text{ (находим искомые точки)} \] Пошаговое решение для перерисовывания в тетрадь: Шаг 1. На фронтальной проекции (треугольник \(O''\)) выберем на прямой \(l''\) две произвольные точки (например, в местах пересечения прямой с очерковыми образующими конуса). Но проще всего использовать метод вспомогательных горизонтальных плоскостей. Проведем через прямую \(l\) горизонтально-проецирующую плоскость (на чертеже это совпадает с \(l'\)). Однако для школьного курса чаще используют метод "секущей плоскости через вершину" или "горизонтальных сечений". Шаг 2. Самый простой способ для этого чертежа: 1. На фронтальной проекции \(l''\) отметим две точки на самой прямой внутри конуса. 2. Проведем через них горизонтальные линии (параллельно оси \(X\)). Каждая такая линия в конусе — это окружность. 3. Построим эти окружности на горизонтальной проекции \(O'\). 4. Там, где проекция прямой \(l'\) пересечет соответствующие окружности, и будут лежать точки \(M'\) и \(N'\). Шаг 3. Нахождение точек (практический метод): 1. Отметьте на \(l'\) точки пересечения с окружностью \(O'\). Внимание: это НЕ точки пересечения с поверхностью конуса (так как окружность — это только основание). 2. Правильный метод: Проведите через прямую \(l\) и вершину конуса \(O\) вспомогательную плоскость. Она пересечет конус по треугольнику. 3. На вашем чертеже проще всего найти точки \(M\) и \(N\) так: - Проведите через \(l''\) вспомогательную прямую, проходящую через вершину \(O''\). - Найдите её проекцию на виде сверху. - Точки пересечения этой проекции с \(l'\) дадут \(M'\) и \(N'\). - Поднимите линии связи вверх на \(l''\), чтобы получить \(M''\) и \(N''\). Видимость: - На обеих проекциях отрезок прямой \(MN\), находящийся внутри контура конуса, начертите пунктиром (штриховой линией). - Части прямой снаружи точек \(M\) и \(N\) обведите жирной сплошной линией. Этот метод является классическим для российской школы начертательной геометрии, обеспечивая точность и наглядность построения.