3. Решите уравнение:
а) \(2x^2 - 18 = 0\)
Перенесем число 18 в правую часть уравнения, изменив знак:
\(2x^2 = 18\)
Разделим обе части уравнения на 2:
\(x^2 = \frac{18}{2}\)
\(x^2 = 9\)
Чтобы найти \(x\), извлечем квадратный корень из 9. Помним, что квадратный корень может быть как положительным, так и отрицательным:
\(x = \pm\sqrt{9}\)
\(x_1 = 3\)
\(x_2 = -3\)
Ответ: \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\)
б) \(3x^2 - 12x = 0\)
Вынесем общий множитель \(3x\) за скобки:
\(3x(x - 4) = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, либо \(3x = 0\), либо \(x - 4 = 0\).
Первый случай:
\(3x = 0\)
\(x_1 = 0\)
Второй случай:
\(x - 4 = 0\)
\(x_2 = 4\)
Ответ: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 4\)
в) \(2,7x^2 = 0\)
Чтобы произведение \(2,7 \cdot x^2\) было равно нулю, \(x^2\) должно быть равно нулю, так как \(2,7 \neq 0\).
\(x^2 = 0\)
\(x = 0\)
Ответ: \(x = 0\)
г) \(x^2 + 16 = 0\)
Перенесем число 16 в правую часть уравнения, изменив знак:
\(x^2 = -16\)
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Поэтому у этого уравнения нет действительных корней.
Ответ: Нет действительных корней.
д) \(6x^2 - 18 = 0\)
Перенесем число 18 в правую часть уравнения, изменив знак:
\(6x^2 = 18\)
Разделим обе части уравнения на 6:
\(x^2 = \frac{18}{6}\)
\(x^2 = 3\)
Чтобы найти \(x\), извлечем квадратный корень из 3:
\(x = \pm\sqrt{3}\)
\(x_1 = \sqrt{3}\)
\(x_2 = -\sqrt{3}\)
Ответ: \(x_1 = \sqrt{3}\), \(x_2 = -\sqrt{3}\)
е) \(x^2 - 5x = 0\)
Вынесем общий множитель \(x\) за скобки:
\(x(x - 5) = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, либо \(x = 0\), либо \(x - 5 = 0\).
Первый случай:
\(x_1 = 0\)
Второй случай:
\(x - 5 = 0\)
\(x_2 = 5\)
Ответ: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 5\)
ж) \(-\frac{3}{7}x^2 = 0\)
Чтобы произведение \(-\frac{3}{7} \cdot x^2\) было равно нулю, \(x^2\) должно быть равно нулю, так как \(-\frac{3}{7} \neq 0\).
\(x^2 = 0\)
\(x = 0\)
Ответ: \(x = 0\)
з) \(4x^2 + 36 = 0\)
Перенесем число 36 в правую часть уравнения, изменив знак:
\(4x^2 = -36\)
Разделим обе части уравнения на 4:
\(x^2 = \frac{-36}{4}\)
\(x^2 = -9\)
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Поэтому у этого уравнения нет действительных корней.
Ответ: Нет действительных корней.
и) \(6x - 3x^2 = 0\)
Вынесем общий множитель \(3x\) за скобки:
\(3x(2 - x) = 0\)
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, либо \(3x = 0\), либо \(2 - x = 0\).
Первый случай:
\(3x = 0\)
\(x_1 = 0\)
Второй случай:
\(2 - x = 0\)
\(x_2 = 2\)
Ответ: \(x_1 = 0\), \(x_2 = 2\)
к) \(\frac{1}{6}x^2 - \frac{5}{6} = 0\)
Перенесем \(\frac{5}{6}\) в правую часть уравнения, изменив знак:
\(\frac{1}{6}x^2 = \frac{5}{6}\)
Умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от дробей:
\(x^2 = 5\)
Чтобы найти \(x\), извлечем квадратный корень из 5:
\(x = \pm\sqrt{5}\)
\(x_1 = \sqrt{5}\)
\(x_2 = -\sqrt{5}\)
Ответ: \(x_1 = \sqrt{5}\), \(x_2 = -\sqrt{5}\)
л) \(12 + 4x^2 = 0\)
Перенесем число 12 в правую часть уравнения, изменив знак:
\(4x^2 = -12\)
Разделим обе части уравнения на 4:
\(x^2 = \frac{-12}{4}\)
\(x^2 = -3\)
Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Поэтому у этого уравнения нет действительных корней.
Ответ: Нет действительных корней.
м) \(3,6x^2 = 0\)
Чтобы произведение \(3,6 \cdot x^2\) было равно нулю, \(x^2\) должно быть равно нулю, так как \(3,6 \neq 0\).
\(x^2 = 0\)
\(x = 0\)
Ответ: \(x = 0\)