Решение задачи №3: Треугольники и параллельные прямые

Контрольная работа №3. Вариант 2. Задача №3 Дано: Треугольник \(ABC\). Точка \(E\) на стороне \(AC\), \(AE:CE = 2:7\). \(EF \parallel AB\), где \(F\) лежит на \(BC\). \(BF = 21\) см. Найти: \(AB\). Решение: 1. Рассмотрим треугольники \(ABC\) и \(EFC\). Так как \(EF \parallel AB\), то угол \(C\) у них общий, а угол \(CEF\) равен углу \(CAB\) как соответствующие углы при параллельных прямых. Следовательно, треугольник \(ABC\) подобен треугольнику \(EFC\) по двум углам. 2. Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: \[ \frac{AB}{EF} = \frac{AC}{EC} = \frac{BC}{FC} \] 3. По условию \(AE:CE = 2:7\). Пусть \(AE = 2x\), тогда \(CE = 7x\). Следовательно, вся сторона \(AC = AE + CE = 2x + 7x = 9x\). 4. Найдем коэффициент подобия через сторону \(AC\): \[ \frac{AC}{EC} = \frac{9x}{7x} = \frac{9}{7} \] 5. Согласно теореме о пропорциональных отрезках (или из подобия), отношение отрезков на стороне \(BC\) будет таким же: \[ \frac{BC}{FC} = \frac{AC}{EC} = \frac{9}{7} \] Пусть \(FC = 7y\), тогда \(BC = 9y\). Отрезок \(BF = BC - FC = 9y - 7y = 2y\). 6. По условию \(BF = 21\) см. Найдем \(y\): \[ 2y = 21 \implies y = 10,5 \text{ см} \] 7. В данной задаче недостаточно данных для нахождения именно длины \(AB\), так как не задана длина \(EF\). Однако, если в условии подразумевалось нахождение стороны \(BC\) или если была дана длина \(EF\), решение бы продолжилось. Перепроверив текст: "Найдите сторону AB, если BF=21 см". Обычно в таких задачах \(EF\) дается числом. Если предположить, что \(EF\) — это средняя линия или имеет связь с \(AE\), но здесь это не указано. Если же в задаче опечатка и нужно найти \(BC\): \[ BC = 9y = 9 \cdot 10,5 = 94,5 \text{ см} \] Если опечатки нет, то \(AB\) выражается через \(EF\): \(AB = \frac{9}{7} EF\). Задача №4 Дано: Трапеция \(ABCD\) (\(AD \parallel BC\)). Диагонали пересекаются в точке \(O\). \(AO = 10\) см, \(OC = 4\) см. \(AD + BC = 42\) см. Найти: \(AD\), \(BC\). Решение: 1. Рассмотрим треугольники \(AOD\) и \(COB\). Угол \(AOD\) равен углу \(COB\) как вертикальные. Угол \(OAD\) равен углу \(OCB\) как накрест лежащие при параллельных прямых \(AD\) и \(BC\) и секущей \(AC\). Следовательно, треугольник \(AOD\) подобен треугольнику \(COB\) по двум углам. 2. Из подобия треугольников следует: \[ \frac{AD}{BC} = \frac{AO}{OC} \] 3. Подставим известные значения \(AO\) и \(OC\): \[ \frac{AD}{BC} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \] Отсюда \(AD = \frac{5}{2} BC = 2,5 \cdot BC\). 4. Используем условие, что сумма оснований равна 42 см: \[ AD + BC = 42 \] \[ 2,5 \cdot BC + BC = 42 \] \[ 3,5 \cdot BC = 42 \] 5. Найдем \(BC\): \[ BC = 42 : 3,5 = 12 \text{ см} \] 6. Найдем \(AD\): \[ AD = 42 - 12 = 30 \text{ см} \] Ответ: \(AD = 30\) см, \(BC = 12\) см.