Решение задачи №2 для 8 класса с подробным объяснением

Задание №2. Вычислить. Ниже приведены подробные решения для записи в тетрадь. Чтобы решать без калькулятора, мы будем использовать таблицу квадратов, свойства корней и формулы сокращенного умножения. а) \(\sqrt{1369} - \sqrt{1681}\) Чтобы найти корень без калькулятора, смотрим на последнюю цифру. \(1369\) заканчивается на 9, значит корень заканчивается на 3 или 7. Так как \(30^2 = 900\), а \(40^2 = 1600\), число лежит между 30 и 40. Проверяем \(37^2 = 1369\). Аналогично для \(1681\): число чуть больше \(40^2\), заканчивается на 1, проверяем \(41^2 = 1681\). \[37 - 41 = -4\] б) \(2\sqrt{0,1156} - \sqrt{0,4761}\) Представим десятичные дроби как обыкновенные: \(\sqrt{0,1156} = \frac{\sqrt{1156}}{100}\). Так как \(30^2 = 900\) и \(34^2 = 1156\), то корень равен \(0,34\). Для \(0,4761\): \(60^2 = 3600\), \(70^2 = 4900\), проверяем \(69^2 = 4761\), значит корень \(0,69\). \[2 \cdot 0,34 - 0,69 = 0,68 - 0,69 = -0,01\] в) \(0,4\sqrt{441} + \sqrt{2,56}\) Известно, что \(21^2 = 441\), значит \(\sqrt{441} = 21\). Также \(16^2 = 256\), значит \(\sqrt{2,56} = 1,6\). \[0,4 \cdot 21 + 1,6 = 8,4 + 1,6 = 10\] г) \(\frac{5}{\sqrt{4225}} - \sqrt{\frac{25}{169}}\) Для \(\sqrt{4225}\): число заканчивается на 25, значит корень заканчивается на 5. \(60^2 = 3600\), \(70^2 = 4900\). Проверяем \(65^2 = 4225\). \[\frac{5}{65} - \frac{5}{13} = \frac{1}{13} - \frac{5}{13} = -\frac{4}{13}\] д) \(\sqrt{1369 - 2 \cdot 37 \cdot 29 + 841}\) Заметим под корнем формулу квадрата разности \(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\). Здесь \(1369 = 37^2\), а \(841 = 29^2\). \[\sqrt{37^2 - 2 \cdot 37 \cdot 29 + 29^2} = \sqrt{(37 - 29)^2} = \sqrt{8^2} = 8\] ж) \(\sqrt{11^2 + 60^2}\) Вычисляем квадраты: \(11^2 = 121\), \(60^2 = 3600\). \[\sqrt{121 + 3600} = \sqrt{3721}\] Число заканчивается на 1, находится между \(60^2=3600\) и \(70^2=4900\). Проверяем \(61^2 = 3721\). Ответ: \(61\). з) \(\sqrt{85^2 - 84^2}\) Используем формулу разности квадратов \(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\). Это гораздо проще, чем возводить в квадрат. \[\sqrt{(85 - 84)(85 + 84)} = \sqrt{1 \cdot 169} = \sqrt{169} = 13\] и) \(\sqrt{2,5^2 - 2,4^2}\) Снова применяем разность квадратов: \[\sqrt{(2,5 - 2,4)(2,5 + 2,4)} = \sqrt{0,1 \cdot 4,9} = \sqrt{0,49} = 0,7\]