Решение задачи о продольных колебаниях стержня

Ниже представлено решение первой задачи из Варианта 3, оформленное для записи в тетрадь. Вариант 3. Задача №1. Постановка задачи о продольных колебаниях стержня. Пусть \( u(x, t) \) — отклонение сечения стержня с координатой \( x \) в момент времени \( t \). Длина стержня равна \( l \). 1. Уравнение движения. Продольные колебания стержня описываются волновым уравнением: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad 0 < x < l, \quad t > 0 \] где \( a = \sqrt{\frac{E}{\rho}} \) — скорость распространения звука в стержне (\( E \) — модуль Юнга, \( \rho \) — плотность материала). 2. Начальные условия. По условию, до момента удара стержень покоился (начальные смещения равны нулю): \[ u(x, 0) = 0 \] В момент \( t = 0 \) по правому концу (\( x = l \)) наносится удар, передающий импульс \( I \). Это эквивалентно заданию начальной скорости в виде дельта-функции: \[ \frac{\partial u}{\partial t} \bigg|_{t=0} = \frac{I}{\rho S} \delta(x - l) \] где \( S \) — площадь поперечного сечения стержня. 3. Граничные условия. На левом конце (\( x = 0 \)) стержень прикреплен к пружине жесткостью \( k \), другой конец которой движется по закону \( \mu(t) \). Сила упругости стержня \( ES \frac{\partial u}{\partial x} \) уравновешивается силой пружины \( k(u - \mu(t)) \): \[ ES \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x=0} = k [u(0, t) - \mu(t)] \] На правом конце (\( x = l \)) после удара внешние силы не действуют (свободный край): \[ \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x=l} = 0 \] Итоговая математическая модель: \[ \begin{cases} u_{tt} = a^2 u_{xx}, \quad 0 < x < l, \quad t > 0 \\ u(x, 0) = 0 \\ u_t(x, 0) = \frac{I}{\rho S} \delta(x - l) \\ ES u_x(0, t) - k u(0, t) = -k \mu(t) \\ u_x(l, t) = 0 \end{cases} \]