Решение задачи: продольные колебания стержня

Для решения задачи о продольных колебаниях стержня необходимо составить дифференциальное уравнение в частных производных (волновое уравнение) и сформулировать начальные и граничные условия. Пусть \( u(x, t) \) — смещение сечения стержня с координатой \( x \) в момент времени \( t \). 1. Уравнение движения Продольные колебания стержня описываются волновым уравнением: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}, \quad 0 < x < l, \quad t > 0 \] где \( a = \sqrt{\frac{E}{\rho}} \) — скорость распространения звука в стержне (\( E \) — модуль Юнга, \( \rho \) — плотность материала). 2. Начальные условия По условию, до момента удара (\( t = 0 \)) смещения и скорости равны нулю. Однако в момент \( t = 0 \) правый конец (\( x = l \)) получает импульс \( I \). Это учитывается либо в граничном условии, либо через начальную скорость. Для постановки задачи запишем: \[ u(x, 0) = 0 \] \[ \frac{\partial u}{\partial t} \bigg|_{t=0} = \frac{I}{m} \delta(x - l) \] где \( m \) — масса стержня, \( \delta \) — дельта-функция Дирака. Если рассматривать импульс как мгновенное изменение состояния на границе, начальная скорость во всех внутренних точках равна 0. 3. Граничные условия На левом конце (\( x = 0 \)) стержень прикреплен к пружине жесткостью \( k \), другой конец которой движется по закону \( \mu(t) \). Сила упругости стержня в этой точке уравновешивается силой пружины: \[ ES \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x=0} = k [u(0, t) - \mu(t)] \] где \( S \) — площадь поперечного сечения стержня. На правом конце (\( x = l \)) в момент \( t = 0 \) происходит удар. Если после удара конец остается свободным, то граничное условие при \( t > 0 \): \[ \frac{\partial u}{\partial x} \bigg|_{x=l} = 0 \] Итоговая математическая постановка задачи: Найти функцию \( u(x, t) \), удовлетворяющую условиям: \[ \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = a^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \] \[ u(x, 0) = 0, \quad \frac{\partial u(x, 0)}{\partial t} = 0 \] \[ ES \frac{\partial u(0, t)}{\partial x} - k u(0, t) = -k \mu(t) \] \[ \frac{\partial u(l, t)}{\partial x} = \frac{I}{ES} \delta(t) \] (Последнее условие интерпретирует удар как мгновенное напряжение на границе).