Решение задач: Алгебра 10 (Алимов) Вариант 2 Задания 1-4

Контрольная работа. Алгебра-10 (Алимов). Вариант-2. Задание 1. Вычислить: а) \(\log_{3} \frac{1}{81}\) Решение: Так как \(\frac{1}{81} = \frac{1}{3^4} = 3^{-4}\), то: \[\log_{3} 3^{-4} = -4\] Ответ: -4. б) \(5^{\log_{5} 3 + 1}\) Решение: Используем свойства степеней и основное логарифмическое тождество: \[5^{\log_{5} 3 + 1} = 5^{\log_{5} 3} \cdot 5^1 = 3 \cdot 5 = 15\] Ответ: 15. в) \(\log_{3} 216 - \log_{3} 8\) (в условии опечатка в основании второго логарифма, обычно они одинаковые) Решение: Используем свойство разности логарифмов: \[\log_{3} 216 - \log_{3} 8 = \log_{3} \frac{216}{8} = \log_{3} 27 = \log_{3} 3^3 = 3\] Ответ: 3. Задание 2. Решите уравнение: \[\log_{5} (2x + 3) = 2\] Решение: По определению логарифма: \[2x + 3 = 5^2\] \[2x + 3 = 25\] \[2x = 25 - 3\] \[2x = 22\] \[x = 11\] Проверка: \(2 \cdot 11 + 3 = 25 > 0\), условие существования логарифма выполняется. Ответ: 11. Задание 3. Решите неравенство: \[\log_{0,2} (x - 6) > 1\] Решение: 1. Область допустимых значений (ОДЗ): \[x - 6 > 0 \Rightarrow x > 6\] 2. Так как основание логарифма \(0,2 < 1\), то при переходе к подлогарифмическому выражению знак неравенства меняется на противоположный: \[x - 6 < 0,2^1\] \[x - 6 < 0,2\] \[x < 6,2\] 3. С учетом ОДЗ: \[6 < x < 6,2\] Ответ: \((6; 6,2)\). Задание 4. Решите уравнение: а) \(\log_{5}^2 x + \log_{5} x - 2 = 0\) Решение: Пусть \(\log_{5} x = t\). Тогда уравнение примет вид: \[t^2 + t - 2 = 0\] По теореме Виета: \[t_1 = -2, \quad t_2 = 1\] Вернемся к замене: 1) \(\log_{5} x = -2 \Rightarrow x = 5^{-2} = \frac{1}{25} = 0,04\) 2) \(\log_{5} x = 1 \Rightarrow x = 5^1 = 5\) Оба корня положительны, что соответствует ОДЗ (\(x > 0\)). Ответ: 0,04; 5. б) \(\log_{4} (x + 4) = 2 - \log_{4} (x - 2)\) Решение: 1. ОДЗ: \[\begin{cases} x + 4 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x > -4 \\ x > 2 \end{cases} \Rightarrow x > 2\] 2. Перенесем логарифм в левую часть: \[\log_{4} (x + 4) + \log_{4} (x - 2) = 2\] \[\log_{4} ((x + 4)(x - 2)) = 2\] \[(x + 4)(x - 2) = 4^2\] \[x^2 - 2x + 4x - 8 = 16\] \[x^2 + 2x - 24 = 0\] По теореме Виета: \[x_1 = -6, \quad x_2 = 4\] 3. Проверка по ОДЗ: \(x = -6\) не подходит, так как \(-6 < 2\). \(x = 4\) подходит, так как \(4 > 2\). Ответ: 4.