Решение задачи: Изменение порядка интегрирования в двойном интеграле

Задание: Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле \[ I = \int_{0}^{4} dx \int_{-x}^{\sqrt{4x-x^2}} f(x, y) dy \] Решение: 1. Опишем область интегрирования D по заданным пределам: \[ 0 \le x \le 4 \] \[ -x \le y \le \sqrt{4x-x^2} \] 2. Проанализируем границы области: Нижняя граница: \( y = -x \) — прямая линия. Верхняя граница: \( y = \sqrt{4x-x^2} \). Возведем в квадрат: \( y^2 = 4x - x^2 \), при условии \( y \ge 0 \). Перенесем слагаемые: \( x^2 - 4x + y^2 = 0 \). Дополним до полного квадрата: \( (x-2)^2 + y^2 = 4 \). Это уравнение верхней полуокружности с центром в точке (2, 0) и радиусом 2. 3. Найдем крайние значения для переменной y: Минимальное значение y достигается при \( x = 4 \) на прямой \( y = -x \), то есть \( y = -4 \). Максимальное значение y достигается в вершине полуокружности, то есть \( y = 2 \). Таким образом, область изменения y: \( -4 \le y \le 2 \). 4. Выразим x через y для каждой границы: Для прямой \( y = -x \) получаем \( x = -y \). Для окружности \( (x-2)^2 + y^2 = 4 \) выразим x: \[ (x-2)^2 = 4 - y^2 \] \[ x - 2 = \pm \sqrt{4 - y^2} \] \[ x = 2 \pm \sqrt{4 - y^2} \] Левая часть дуги: \( x = 2 - \sqrt{4 - y^2} \), правая часть: \( x = 2 + \sqrt{4 - y^2} \). 5. Разобьем область на две части по оси y, так как характер изменения границ меняется в точке \( y = 0 \): Часть 1: \( -4 \le y \le 0 \) Здесь x меняется от прямой \( x = -y \) до прямой \( x = 4 \). \[ I_1 = \int_{-4}^{0} dy \int_{-y}^{4} f(x, y) dx \] Часть 2: \( 0 \le y \le 2 \) Здесь x меняется между левой и правой дугами полуокружности. \[ I_2 = \int_{0}^{2} dy \int_{2-\sqrt{4-y^2}}^{2+\sqrt{4-y^2}} f(x, y) dx \] Ответ: \[ \int_{-4}^{0} dy \int_{-y}^{4} f(x, y) dx + \int_{0}^{2} dy \int_{2-\sqrt{4-y^2}}^{2+\sqrt{4-y^2}} f(x, y) dx \]