Решение задачи №1: Основное тригонометрическое тождество

Хорошо, решим первый номер из самостоятельной работы. Самостоятельная работа: Основное тригонометрическое тождество Вариант I Номер 1. Найти значения трех других тригонометрических функций, если: 1) Дано: \( \cos \alpha = \frac{12}{13} \), \( \frac{3\pi}{2} < \alpha < 2\pi \) Решение: Угол \( \alpha \) находится в IV четверти, где синус отрицателен, а тангенс и котангенс также отрицательны. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \) \( \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{12}{13}\right)^2 \) \( \sin^2 \alpha = 1 - \frac{144}{169} \) \( \sin^2 \alpha = \frac{169 - 144}{169} \) \( \sin^2 \alpha = \frac{25}{169} \) \( \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{25}{169}} \) \( \sin \alpha = \pm \frac{5}{13} \) Так как \( \alpha \) находится в IV четверти, \( \sin \alpha < 0 \). Значит, \( \sin \alpha = -\frac{5}{13} \). Теперь найдем тангенс: \( \mathrm{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) \( \mathrm{tg} \alpha = \frac{-\frac{5}{13}}{\frac{12}{13}} \) \( \mathrm{tg} \alpha = -\frac{5}{12} \) И котангенс: \( \mathrm{ctg} \alpha = \frac{1}{\mathrm{tg} \alpha} \) \( \mathrm{ctg} \alpha = \frac{1}{-\frac{5}{12}} \) \( \mathrm{ctg} \alpha = -\frac{12}{5} \) Ответ: \( \sin \alpha = -\frac{5}{13} \), \( \mathrm{tg} \alpha = -\frac{5}{12} \), \( \mathrm{ctg} \alpha = -\frac{12}{5} \). 2) Дано: \( \sin \alpha = \frac{5}{13} \), \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \) Решение: Угол \( \alpha \) находится во II четверти, где косинус отрицателен, а тангенс и котангенс также отрицательны. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \) \( \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 \) \( \cos^2 \alpha = 1 - \frac{25}{169} \) \( \cos^2 \alpha = \frac{169 - 25}{169} \) \( \cos^2 \alpha = \frac{144}{169} \) \( \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{144}{169}} \) \( \cos \alpha = \pm \frac{12}{13} \) Так как \( \alpha \) находится во II четверти, \( \cos \alpha < 0 \). Значит, \( \cos \alpha = -\frac{12}{13} \). Теперь найдем тангенс: \( \mathrm{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) \( \mathrm{tg} \alpha = \frac{\frac{5}{13}}{-\frac{12}{13}} \) \( \mathrm{tg} \alpha = -\frac{5}{12} \) И котангенс: \( \mathrm{ctg} \alpha = \frac{1}{\mathrm{tg} \alpha} \) \( \mathrm{ctg} \alpha = \frac{1}{-\frac{5}{12}} \) \( \mathrm{ctg} \alpha = -\frac{12}{5} \) Ответ: \( \cos \alpha = -\frac{12}{13} \), \( \mathrm{tg} \alpha = -\frac{5}{12} \), \( \mathrm{ctg} \alpha = -\frac{12}{5} \). 3) Дано: \( \cos \alpha = -0,8 \), \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \) Решение: Переведем десятичную дробь в обыкновенную: \( -0,8 = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5} \). Итак, \( \cos \alpha = -\frac{4}{5} \). Угол \( \alpha \) находится во II четверти, где синус положителен, а тангенс и котангенс отрицательны. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) \( \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \) \( \sin^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2 \) \( \sin^2 \alpha = 1 - \frac{16}{25} \) \( \sin^2 \alpha = \frac{25 - 16}{25} \) \( \sin^2 \alpha = \frac{9}{25} \) \( \sin \alpha = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} \) \( \sin \alpha = \pm \frac{3}{5} \) Так как \( \alpha \) находится во II четверти, \( \sin \alpha > 0 \). Значит, \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \). Теперь найдем тангенс: \( \mathrm{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) \( \mathrm{tg} \alpha = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} \) \( \mathrm{tg} \alpha = -\frac{3}{4} \) И котангенс: \( \mathrm{ctg} \alpha = \frac{1}{\mathrm{tg} \alpha} \) \( \mathrm{ctg} \alpha = \frac{1}{-\frac{3}{4}} \) \( \mathrm{ctg} \alpha = -\frac{4}{3} \) Ответ: \( \sin \alpha = \frac{3}{5} \), \( \mathrm{tg} \alpha = -\frac{3}{4} \), \( \mathrm{ctg} \alpha = -\frac{4}{3} \). 4) Дано: \( \sin \alpha = -\frac{3}{5} \), \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \) Решение: Угол \( \alpha \) находится в III четверти, где косинус отрицателен, а тангенс и котангенс положительны. Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) \( \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \) \( \cos^2 \alpha = 1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2 \) \( \cos^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} \) \( \cos^2 \alpha = \frac{25 - 9}{25} \) \( \cos^2 \alpha = \frac{16}{25} \) \( \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} \) \( \cos \alpha = \pm \frac{4}{5} \) Так как \( \alpha \) находится в III четверти, \( \cos \alpha < 0 \). Значит, \( \cos \alpha = -\frac{4}{5} \). Теперь найдем тангенс: \( \mathrm{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \) \( \mathrm{tg} \alpha = \frac{-\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} \) \( \mathrm{tg} \alpha = \frac{3}{4} \) И котангенс: \( \mathrm{ctg} \alpha = \frac{1}{\mathrm{tg} \alpha} \) \( \mathrm{ctg} \alpha = \frac{1}{\frac{3}{4}} \) \( \mathrm{ctg} \alpha = \frac{4}{3} \) Ответ: \( \cos \alpha = -\frac{4}{5} \), \( \mathrm{tg} \alpha = \frac{3}{4} \), \( \mathrm{ctg} \alpha = \frac{4}{3} \).