Решение задачи по теории вероятностей: Вариант 3

Решим задачу по теории вероятностей.

Вариант 3.

Из четырех отобранных тузов наугад вытаскивается две карты. События: \(A = \{\text{обе карты черной масти}\}\), \(B = \{\text{карты разного цвета}\}\). Построить множество элементарных исходов, выразить через эти исходы указанные события. Описать события \(AB\), \(A+B\), \(A \setminus B\), \(\overline{B}\).

Решение:

Сначала определим, какие тузы у нас есть. В колоде 4 туза:

• Туз пик (Тп) - черная масть
• Туз треф (Тт) - черная масть
• Туз червей (Тч) - красная масть
• Туз бубен (Тб) - красная масть

1. Построим множество элементарных исходов \(\Omega\).

Мы вытаскиваем две карты из четырех. Порядок карт не важен, поэтому используем сочетания. Количество элементарных исходов равно числу сочетаний из 4 по 2:

\[C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\]

Перечислим все возможные пары карт:

• \(\omega_1 = \{\text{Тп, Тт}\}\) (обе черные)
• \(\omega_2 = \{\text{Тп, Тч}\}\) (разного цвета)
• \(\omega_3 = \{\text{Тп, Тб}\}\) (разного цвета)
• \(\omega_4 = \{\text{Тт, Тч}\}\) (разного цвета)
• \(\omega_5 = \{\text{Тт, Тб}\}\) (разного цвета)
• \(\omega_6 = \{\text{Тч, Тб}\}\) (обе красные)

Таким образом, множество элементарных исходов:

\[\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6\}\]

2. Выразим события \(A\) и \(B\) через элементарные исходы.

Событие \(A = \{\text{обе карты черной масти}\}\).

Из наших элементарных исходов только \(\omega_1\) соответствует этому условию (Туз пик и Туз треф - обе черные).

\[A = \{\omega_1\}\]

Событие \(B = \{\text{карты разного цвета}\}\).

Этому условию соответствуют следующие исходы:

• \(\omega_2 = \{\text{Тп, Тч}\}\) (черная и красная)
• \(\omega_3 = \{\text{Тп, Тб}\}\) (черная и красная)
• \(\omega_4 = \{\text{Тт, Тч}\}\) (черная и красная)
• \(\omega_5 = \{\text{Тт, Тб}\}\) (черная и красная)

\[B = \{\omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5\}\]

3. Опишем события \(AB\), \(A+B\), \(A \setminus B\), \(\overline{B}\).

Событие \(AB\) (пересечение событий \(A\) и \(B\)).

Событие \(AB\) означает, что произошли оба события: и \(A\), и \(B\). То есть, "обе карты черной масти" И "карты разного цвета". Эти условия противоречат друг другу: если обе карты черные, они не могут быть разного цвета. Следовательно, пересечение этих событий пусто.

\[AB = A \cap B = \{\omega \in \Omega \mid \omega \in A \text{ и } \omega \in B\}\] \[A = \{\omega_1\}\] \[B = \{\omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5\}\]

У этих множеств нет общих элементов.

\[AB = \emptyset\]

Описание: Событие \(AB\) означает, что вытащены две карты, которые одновременно являются обеими черными и разного цвета. Это невозможное событие.

Событие \(A+B\) (объединение событий \(A\) и \(B\)).

Событие \(A+B\) означает, что произошло хотя бы одно из событий: либо \(A\), либо \(B\), либо оба. То есть, "обе карты черной масти" ИЛИ "карты разного цвета".

\[A+B = A \cup B = \{\omega \in \Omega \mid \omega \in A \text{ или } \omega \in B\}\] \[A+B = \{\omega_1\} \cup \{\omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5\}\] \[A+B = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5\}\]

Описание: Событие \(A+B\) означает, что вытащены либо две черные карты, либо две карты разного цвета.

Событие \(A \setminus B\) (разность событий \(A\) и \(B\)).

Событие \(A \setminus B\) означает, что произошло событие \(A\), но не произошло событие \(B\). То есть, "обе карты черной масти" И "карты не разного цвета".

\[A \setminus B = \{\omega \in \Omega \mid \omega \in A \text{ и } \omega \notin B\}\] \[A = \{\omega_1\}\] \[B = \{\omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5\}\]

Элемент \(\omega_1\) принадлежит \(A\), но не принадлежит \(B\).

\[A \setminus B = \{\omega_1\}\]

Описание: Событие \(A \setminus B\) означает, что вытащены две черные карты, и при этом они не являются картами разного цвета (что логично, так как если обе черные, то они не разного цвета).

Событие \(\overline{B}\) (дополнение события \(B\)).

Событие \(\overline{B}\) означает, что событие \(B\) не произошло. То есть, "карты не разного цвета". Это означает, что обе карты одного цвета.

\[\overline{B} = \Omega \setminus B = \{\omega \in \Omega \mid \omega \notin B\}\] \[\Omega = \{\omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6\}\] \[B = \{\omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5\}\]

Элементы, которые не входят в \(B\), это \(\omega_1\) и \(\omega_6\).

\[\overline{B} = \{\omega_1, \omega_6\}\]

Описание: Событие \(\overline{B}\) означает, что вытащены две карты одного цвета. Это может быть либо две черные карты (\(\omega_1\)), либо две красные карты (\(\omega_6\)).

Итог:

• Множество элементарных исходов: \(\Omega = \{\{\text{Тп, Тт}\}, \{\text{Тп, Тч}\}, \{\text{Тп, Тб}\}, \{\text{Тт, Тч}\}, \{\text{Тт, Тб}\}, \{\text{Тч, Тб}\}\}\)
• Событие \(A = \{\{\text{Тп, Тт}\}\}\)
• Событие \(B = \{\{\text{Тп, Тч}\}, \{\text{Тп, Тб}\}, \{\text{Тт, Тч}\}, \{\text{Тт, Тб}\}\}\)
• Событие \(AB = \emptyset\) (невозможное событие)
• Событие \(A+B = \{\{\text{Тп, Тт}\}, \{\text{Тп, Тч}\}, \{\text{Тп, Тб}\}, \{\text{Тт, Тч}\}, \{\text{Тт, Тб}\}\}\)
• Событие \(A \setminus B = \{\{\text{Тп, Тт}\}\}\)
• Событие \(\overline{B} = \{\{\text{Тп, Тт}\}, \{\text{Тч, Тб}\}\}\)