Решение задачи 5: Нахождение области определения функции

Ниже представлено подробное решение задания №5 из контрольной работы. Решение оформлено так, чтобы его было удобно переписать в школьную тетрадь. Задание 5. Найдите область определения функции: а) \( y = \sqrt{5x - 4x^2} \) Решение: Область определения функции, содержащей корень четной степени, задается условием, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: \[ 5x - 4x^2 \geq 0 \] Вынесем \( x \) за скобки: \[ x(5 - 4x) \geq 0 \] Найдем корни уравнения \( x(5 - 4x) = 0 \): 1) \( x_1 = 0 \) 2) \( 5 - 4x = 0 \Rightarrow 4x = 5 \Rightarrow x_2 = 1,25 \) Рассмотрим параболу \( f(x) = 5x - 4x^2 \). Ветви параболы направлены вниз (так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный). Значит, выражение больше или равно нулю на отрезке между корнями. Ответ: \( D(y) = [0; 1,25] \) б) \( y = \frac{\sqrt{x^2 + 2x - 80}}{3x - 36} \) Решение: Здесь накладываются два условия: подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю. Система условий: \[ \begin{cases} x^2 + 2x - 80 \geq 0 \\ 3x - 36 \neq 0 \end{cases} \] 1) Решим неравенство \( x^2 + 2x - 80 \geq 0 \). Найдем корни уравнения \( x^2 + 2x - 80 = 0 \) через дискриминант: \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324 = 18^2 \] \[ x_1 = \frac{-2 + 18}{2} = 8; \quad x_2 = \frac{-2 - 18}{2} = -10 \] Так как ветви параболы направлены вверх, решением неравенства будут интервалы: \( (-\infty; -10] \cup [8; +\infty) \). 2) Решим уравнение для знаменателя: \[ 3x - 36 \neq 0 \Rightarrow 3x \neq 36 \Rightarrow x \neq 12 \] Исключаем точку 12 из полученных интервалов. Ответ: \( D(y) = (-\infty; -10] \cup [8; 12) \cup (12; +\infty) \) в) \( y = \sqrt{9 - x^2} + \sqrt{5 - 2x} \) Решение: Область определения суммы корней — это пересечение областей определения каждого слагаемого. Система условий: \[ \begin{cases} 9 - x^2 \geq 0 \\ 5 - 2x \geq 0 \end{cases} \] 1) Решим первое неравенство: \[ 9 - x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 9 \Rightarrow |x| \leq 3 \Rightarrow -3 \leq x \leq 3 \] 2) Решим второе неравенство: \[ 5 - 2x \geq 0 \Rightarrow -2x \geq -5 \Rightarrow x \leq 2,5 \] 3) Найдем пересечение промежутков \( [-3; 3] \) и \( (-\infty; 2,5] \). Общей частью будет промежуток от -3 до 2,5 включительно. Ответ: \( D(y) = [-3; 2,5] \)