Исправление "2" за 27.11
Задача: Диагональ прямоугольника 15 см, а его периметр 42 см. Найти площадь прямоугольника.
Решение:
Пусть стороны прямоугольника будут \(a\) и \(b\).
1. По условию задачи, периметр прямоугольника равен 42 см. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле \(P = 2(a+b)\).
Значит, \(2(a+b) = 42\).
Разделим обе части уравнения на 2:
\(a+b = 21\).
2. По условию задачи, диагональ прямоугольника равна 15 см. Диагональ прямоугольника образует прямоугольный треугольник со сторонами \(a\) и \(b\). По теореме Пифагора, квадрат диагонали равен сумме квадратов сторон:
\(a^2 + b^2 = d^2\).
Подставим значение диагонали:
\(a^2 + b^2 = 15^2\).
\(a^2 + b^2 = 225\).
3. У нас есть система из двух уравнений:
\[ \begin{cases} a+b = 21 \\ a^2 + b^2 = 225 \end{cases} \]
Из первого уравнения выразим \(b\):
\(b = 21 - a\).
Подставим это выражение во второе уравнение:
\(a^2 + (21 - a)^2 = 225\).
Раскроем скобки, используя формулу квадрата разности \((x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2\):
\(a^2 + (21^2 - 2 \cdot 21 \cdot a + a^2) = 225\).
\(a^2 + 441 - 42a + a^2 = 225\).
Приведем подобные слагаемые:
\(2a^2 - 42a + 441 = 225\).
Перенесем 225 в левую часть уравнения:
\(2a^2 - 42a + 441 - 225 = 0\).
\(2a^2 - 42a + 216 = 0\).
Разделим все члены уравнения на 2, чтобы упростить его:
\(a^2 - 21a + 108 = 0\).
4. Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант \(D\):
\(D = b^2 - 4ac\).
В нашем случае \(a=1\), \(b=-21\), \(c=108\).
\(D = (-21)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 108\).
\(D = 441 - 432\).
\(D = 9\).
Найдем корни уравнения:
\(a_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\).
\(a_1 = \frac{-(-21) + \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{21 + 3}{2} = \frac{24}{2} = 12\).
\(a_2 = \frac{-(-21) - \sqrt{9}}{2 \cdot 1} = \frac{21 - 3}{2} = \frac{18}{2} = 9\).
Если \(a = 12\), то \(b = 21 - 12 = 9\).
Если \(a = 9\), то \(b = 21 - 9 = 12\).
Таким образом, стороны прямоугольника равны 12 см и 9 см.
5. Найдем площадь прямоугольника. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле \(S = a \cdot b\).
\(S = 12 \cdot 9 = 108\).
Ответ: Площадь прямоугольника равна 108 см\(^2\).
Исправление 15.12
Решить неравенства
1) \(x^2 - 5x - 24 \le 0\)
Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 5x - 24 = 0\).
Дискриминант \(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 25 + 96 = 121\).
\(x_{1,2} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm 11}{2}\).
\(x_1 = \frac{5 + 11}{2} = \frac{16}{2} = 8\).
\(x_2 = \frac{5 - 11}{2} = \frac{-6}{2} = -3\).
Парабола \(y = x^2 - 5x - 24\) ветвями направлена вверх. Неравенство \(\le 0\) выполняется между корнями.
Ответ: \([-3; 8]\).
2) \(x^2 + 7x - 18 > 0\)
Найдем корни квадратного уравнения \(x^2 + 7x - 18 = 0\).
Дискриминант \(D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121\).
\(x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 \pm 11}{2}\).
\(x_1 = \frac{-7 + 11}{2} = \frac{4}{2} = 2\).
\(x_2 = \frac{-7 - 11}{2} = \frac{-18}{2} = -9\).
Парабола \(y = x^2 + 7x - 18\) ветвями направлена вверх. Неравенство \(> 0\) выполняется вне корней.
Ответ: \((-\infty; -9) \cup (2; +\infty)\).
3) \(-2x^2 + 7x - 6 \le 0\)
Умножим неравенство на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
\(2x^2 - 7x + 6 \ge 0\).
Найдем корни квадратного уравнения \(2x^2 - 7x + 6 = 0\).
Дискриминант \(D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1\).
\(x_{1,2} = \frac{-(-7) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{7 \pm 1}{4}\).
\(x_1 = \frac{7 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2\).
\(x_2 = \frac{7 - 1}{4} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} = 1.5\).
Парабола \(y = 2x^2 - 7x + 6\) ветвями направлена вверх. Неравенство \(\ge 0\) выполняется вне корней.
Ответ: \((-\infty; 1.5] \cup [2; +\infty)\).
4) \(-9x^2 \le -27x\)
Перенесем все члены в левую часть:
\(-9x^2 + 27x \le 0\).
Разделим неравенство на -9, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
\(x^2 - 3x \ge 0\).
Вынесем \(x\) за скобки:
\(x(x - 3) \ge 0\).
Корни уравнения \(x(x-3)=0\) это \(x=0\) и \(x=3\).
Парабола \(y = x^2 - 3x\) ветвями направлена вверх. Неравенство \(\ge 0\) выполняется вне корней.
Ответ: \((-\infty; 0] \cup [3; +\infty)\).
5) \(x^2 \ge 100\)
Перенесем 100 в левую часть:
\(x^2 - 100 \ge 0\).
Разложим на множители как разность квадратов \((a^2 - b^2 = (a-b)(a+b))\):
\((x - 10)(x + 10) \ge 0\).
Корни уравнения \((x-10)(x+10)=0\) это \(x=10\) и \(x=-10\).
Парабола \(y = x^2 - 100\) ветвями направлена вверх. Неравенство \(\ge 0\) выполняется вне корней.
Ответ: \((-\infty; -10] \cup [10; +\infty)\).
6) \(x^2 + 10x + 25 > 0\)
Заметим, что левая часть неравенства является полным квадратом:
\(x^2 + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^2 = (x + 5)^2\).
Таким образом, неравенство принимает вид:
\((x + 5)^2 > 0\).
Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен. Он равен нулю только тогда, когда основание равно нулю.
\((x + 5)^2 = 0\) при \(x + 5 = 0\), то есть при \(x = -5\).
Во всех остальных случаях \((x + 5)^2 > 0\).
Ответ: \((-\infty; -5) \cup (-5; +\infty)\) или \(x \ne -5\).