Решение задач: Вариант А2

Вот решения задач, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь школьнику. Вариант А2 1. Решите уравнения: а) \(2^{x^2-3x} = \frac{1}{4}\) Решение: Перепишем правую часть уравнения как степень числа 2: \(\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}\) Теперь уравнение имеет вид: \(2^{x^2-3x} = 2^{-2}\) Так как основания степеней равны, то и показатели должны быть равны: \(x^2 - 3x = -2\) Перенесем -2 в левую часть: \(x^2 - 3x + 2 = 0\) Это квадратное уравнение. Решим его с помощью дискриминанта или по теореме Виета. По теореме Виета: Сумма корней \(x_1 + x_2 = 3\) Произведение корней \(x_1 \cdot x_2 = 2\) Отсюда легко найти корни: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\). Ответ: \(x_1 = 1\), \(x_2 = 2\). б) \(5^x - 5^{x-2} = 600\) Решение: Используем свойство степеней \(a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}\): \(5^{x-2} = \frac{5^x}{5^2} = \frac{5^x}{25}\) Подставим это в уравнение: \(5^x - \frac{5^x}{25} = 600\) Вынесем \(5^x\) за скобки: \(5^x \left(1 - \frac{1}{25}\right) = 600\) Приведем к общему знаменателю в скобках: \(5^x \left(\frac{25}{25} - \frac{1}{25}\right) = 600\) \(5^x \left(\frac{24}{25}\right) = 600\) Чтобы найти \(5^x\), разделим 600 на \(\frac{24}{25}\): \(5^x = 600 \cdot \frac{25}{24}\) Сократим 600 и 24: \(600 \div 24 = 25\) \(5^x = 25 \cdot 25\) \(5^x = 625\) Представим 625 как степень числа 5: \(625 = 5^4\) Значит: \(5^x = 5^4\) Отсюда: \(x = 4\) Ответ: \(x = 4\). в) \(9^x + 3^{x+1} - 4 = 0\) Решение: Представим \(9^x\) как \((3^2)^x = 3^{2x} = (3^x)^2\). Представим \(3^{x+1}\) как \(3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x\). Теперь уравнение примет вид: \((3^x)^2 + 3 \cdot 3^x - 4 = 0\) Сделаем замену переменной. Пусть \(t = 3^x\). Так как \(3^x\) всегда положительно, то \(t > 0\). Уравнение становится квадратным относительно \(t\): \(t^2 + 3t - 4 = 0\) Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета: Сумма корней \(t_1 + t_2 = -3\) Произведение корней \(t_1 \cdot t_2 = -4\) Корни: \(t_1 = 1\), \(t_2 = -4\). Так как \(t > 0\), то \(t_2 = -4\) не подходит. Возвращаемся к замене: \(3^x = t_1\) \(3^x = 1\) Так как \(1 = 3^0\), то: \(3^x = 3^0\) Отсюда: \(x = 0\) Ответ: \(x = 0\). г) \(7^{x+1} \cdot 2^x = 98\) Решение: Используем свойство степеней \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\): \(7^{x+1} = 7^x \cdot 7^1 = 7 \cdot 7^x\) Подставим это в уравнение: \(7 \cdot 7^x \cdot 2^x = 98\) Разделим обе части уравнения на 7: \(7^x \cdot 2^x = \frac{98}{7}\) \(7^x \cdot 2^x = 14\) Используем свойство степеней \(a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m\): \((7 \cdot 2)^x = 14\) \(14^x = 14\) Так как \(14 = 14^1\), то: \(14^x = 14^1\) Отсюда: \(x = 1\) Ответ: \(x = 1\). 2. Решите систему уравнений: \[ \begin{cases} 3^x - 3^y = 6, \\ 2 \cdot 3^x + 3^y = 21. \end{cases} \] Решение: Сделаем замену переменных. Пусть \(a = 3^x\) и \(b = 3^y\). Так как \(3^x\) и \(3^y\) всегда положительны, то \(a > 0\) и \(b > 0\). Система примет вид: \[ \begin{cases} a - b = 6, \\ 2a + b = 21. \end{cases} \] Эту систему можно решить методом сложения. Сложим первое уравнение со вторым: \((a - b) + (2a + b) = 6 + 21\) \(a - b + 2a + b = 27\) \(3a = 27\) Разделим на 3: \(a = 9\) Теперь подставим значение \(a = 9\) в первое уравнение системы \(a - b = 6\): \(9 - b = 6\) \(b = 9 - 6\) \(b = 3\) Теперь вернемся к исходным переменным: \(a = 3^x \Rightarrow 3^x = 9\) Так как \(9 = 3^2\), то: \(3^x = 3^2\) \(x = 2\) И: \(b = 3^y \Rightarrow 3^y = 3\) Так как \(3 = 3^1\), то: \(3^y = 3^1\) \(y = 1\) Ответ: \((2; 1)\).