Решение задачи: Смежные и вертикальные углы (7 класс)

Самостоятельная работа по теме: "Смежные и вертикальные углы" (геометрия 7 класс) Вариант 1 Задача 1 Дано: \(\angle AOB = 84^{\circ}\), \(\angle BOC = 37^{\circ}\). Найти: \(\angle AOC\). Решение: По рисунку видно, что \(\angle AOC = \angle AOB + \angle BOC\). \[\angle AOC = 84^{\circ} + 37^{\circ} = 121^{\circ}\] Ответ: \(121^{\circ}\). Задача 2 Дано: \(\angle MON = 122^{\circ}\), \(\angle MOK = 19^{\circ}\), \(\angle LON = 23^{\circ}\). Найти: \(\angle KOL\). Решение: Угол \(MON\) состоит из трех углов: \(MOK\), \(KOL\) и \(LON\). \[\angle KOL = \angle MON - (\angle MOK + \angle LON)\] \[\angle KOL = 122^{\circ} - (19^{\circ} + 23^{\circ}) = 122^{\circ} - 42^{\circ} = 80^{\circ}\] Ответ: \(80^{\circ}\). Задача 3 Дано: \(\angle AOB\) и \(\angle BOC\) — смежные. \(\angle AOB = 41^{\circ}\). Найти: \(\angle BOC\). Решение: Сумма смежных углов равна \(180^{\circ}\). \[\angle BOC = 180^{\circ} - \angle AOB\] \[\angle BOC = 180^{\circ} - 41^{\circ} = 139^{\circ}\] Ответ: \(139^{\circ}\). Задача 4 Дано: Прямые \(MN\) и \(KL\) пересекаются в точке \(O\). \(\angle MOL = 52^{\circ}\). Найти: \(\angle KON\). Решение: Углы \(MOL\) и \(KON\) являются вертикальными. По свойству вертикальных углов они равны. \[\angle KON = \angle MOL = 52^{\circ}\] Ответ: \(52^{\circ}\). Задача 5 Дано: \(\angle AOK = 90^{\circ}\) (прямой), \(ON\) — биссектриса \(\angle KOB\). Найти: \(\angle NOB\). Решение: 1) Углы \(AOK\) и \(KOB\) — смежные, значит \(\angle KOB = 180^{\circ} - \angle AOK = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}\). 2) Так как \(ON\) — биссектриса \(\angle KOB\), то она делит его пополам. \[\angle NOB = \angle KOB : 2 = 90^{\circ} : 2 = 45^{\circ}\] Ответ: \(45^{\circ}\). Задача 6 Дано: \(\angle AOB\) и \(\angle BOC\) — смежные. \(\angle BOC = 2 \cdot \angle AOB\). Найти: \(\angle AOB\). Решение: Пусть \(\angle AOB = x\), тогда \(\angle BOC = 2x\). Сумма смежных углов равна \(180^{\circ}\). \[x + 2x = 180^{\circ}\] \[3x = 180^{\circ}\] \[x = 60^{\circ}\] Значит, \(\angle AOB = 60^{\circ}\). Ответ: \(60^{\circ}\). Задача 7 Дано: Прямые \(MN\) и \(KL\) пересекаются в точке \(O\). \(\angle KON + \angle MOL = 134^{\circ}\). Найти: \(\angle LON\). Решение: 1) Углы \(KON\) и \(MOL\) вертикальные, значит они равны. \[\angle KON = \angle MOL = 134^{\circ} : 2 = 67^{\circ}\] 2) Углы \(MOL\) и \(LON\) — смежные, их сумма \(180^{\circ}\). \[\angle LON = 180^{\circ} - \angle MOL = 180^{\circ} - 67^{\circ} = 113^{\circ}\] Ответ: \(113^{\circ}\). Задача 8 Дано: \(\angle NOK = 3 \cdot \angle DOM\), \(\angle DOK = \angle CON + 12^{\circ}\). Найти: \(\angle CON\). Решение: При пересечении двух прямых образуются две пары вертикальных углов. Пусть \(\angle CON = \angle DOK = x\) (вертикальные). Тогда \(\angle NOK = \angle DOM = y\) (вертикальные). Из условия: 1) \(y = 3y\) — это невозможно, если углы не нулевые. Вероятно, в условии опечатка и имелось в виду \(\angle NOK = 3 \cdot \angle CON\). Предположим: \(\angle NOK = 3 \cdot \angle CON\). Так как \(\angle NOK\) и \(\angle CON\) смежные: \[3x + x = 180^{\circ} \Rightarrow 4x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 45^{\circ}\] Однако в условии также сказано: \(\angle DOK = \angle CON + 12^{\circ}\). Но \(\angle DOK\) и \(\angle CON\) вертикальные, они обязаны быть равны. Если задача подразумевает, что \(CD\) и \(MN\) — это не прямые, а просто лучи, то решение зависит от их расположения. Но судя по чертежу, это пересекающиеся прямые. В таком случае в условии задачи 8 содержатся противоречивые данные. Если следовать только части "Найти \(\angle CON\)" и чертежу, где \(\angle NOK\) и \(\angle CON\) смежные, а \(\angle NOK = 3 \cdot \angle CON\): \[\angle CON = 180^{\circ} : (3 + 1) = 45^{\circ}\] Ответ: \(45^{\circ}\).