Решение задачи по теории вероятности

Ниже представлены ответы на вопросы и решение задачи из домашнего задания, оформленные для удобного переписывания в тетрадь. Ответы на вопросы: 1. Выборочный метод — это способ исследования, при котором изучается не вся совокупность объектов (генеральная совокупность), а лишь ее часть (выборка). Связь с законом больших чисел заключается в том, что при достаточно большом объеме случайной выборки ее характеристики с высокой вероятностью становятся близки к характеристикам всей генеральной совокупности. 2. Генеральная совокупность — это полный набор всех объектов или явлений, которые подлежат изучению в рамках конкретного исследования (например, все жители страны или все выпущенные заводом детали). 3. Выборка — это часть объектов генеральной совокупности, отобранная для непосредственного изучения. 4. Основные положения формирования выборки: - Случайность: каждый элемент генеральной совокупности должен иметь равный шанс попасть в выборку. - Репрезентативность: выборка должна адекватно отражать свойства и структуру генеральной совокупности. - Достаточность объема: количество элементов должно быть достаточным для получения статистически значимых результатов. 5. Для оценки качества выборки применяют проверку на репрезентативность (сравнение структуры выборки с известными данными о генеральной совокупности) и расчет статистической погрешности (ошибки выборки). 6. Число участников (объем выборки \(n\)) рассчитывается по формулам, учитывающим желаемый уровень доверия, допустимую ошибку и вариативность признака. Часто используется формула на основе неравенства Чебышева или нормального распределения. Решение задачи №1 Дана выборка цен на карты памяти (в рублях): 520, 420, 440, 500, 520, 560, 520, 520, 560, 580, 580. Количество элементов в выборке: \(n = 11\). Для оценки дисперсии сначала найдем среднее арифметическое (выборочное среднее) \(\bar{x}\): \[\bar{x} = \frac{520 + 420 + 440 + 500 + 520 + 560 + 520 + 520 + 560 + 580 + 580}{11}\] \[\bar{x} = \frac{5720}{11} = 520\] Теперь рассчитаем выборочную дисперсию \(S^2\) по формуле: \[S^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}\] Вычислим квадраты отклонений от среднего: \((520 - 520)^2 = 0\) \((420 - 520)^2 = 10000\) \((440 - 520)^2 = 6400\) \((500 - 520)^2 = 400\) \((520 - 520)^2 = 0\) \((560 - 520)^2 = 1600\) \((520 - 520)^2 = 0\) \((520 - 520)^2 = 0\) \((560 - 520)^2 = 1600\) \((580 - 520)^2 = 3600\) \((580 - 520)^2 = 3600\) Сумма квадратов отклонений: \[\sum = 0 + 10000 + 6400 + 400 + 0 + 1600 + 0 + 0 + 1600 + 3600 + 3600 = 27200\] Выборочная дисперсия: \[S^2 = \frac{27200}{11} \approx 2472,73\] Для более точной оценки генеральной совокупности часто используют исправленную выборочную дисперсию \(s^2\): \[s^2 = \frac{27200}{11 - 1} = \frac{27200}{10} = 2720\] Ответ: Оценка дисперсии цен составляет 2720.