Решение задачи: (2 4/7 - 1.2) * 5 5/6 и других примеров

Ниже представлено решение заданий из контрольной работы, оформленное для удобного переписывания в тетрадь. Задание 1. Найдите значение выражения: \( (2\frac{4}{7} - 1.2) \cdot 5\frac{5}{6} \) Решение: 1) \( 2\frac{4}{7} - 1\frac{2}{10} = 2\frac{4}{7} - 1\frac{1}{5} = \frac{18}{7} - \frac{6}{5} = \frac{90 - 42}{35} = \frac{48}{35} \) 2) \( \frac{48}{35} \cdot \frac{35}{6} = \frac{48 \cdot 35}{35 \cdot 6} = 8 \) Ответ: 8. Задание 2. 1) Площадь всего сада: \( S = 140 \cdot 60 = 8400 \) м\(^2\). 2) Площадь под яблонями: \( 8400 \cdot \frac{1}{4} = 2100 \) м\(^2\). 3) Площадь под кустарниками и ягодами: \( 8400 - 2100 = 6300 \) м\(^2\). Ответ: 6300 м\(^2\). Задание 3. Найдите значение: \( 2\sin\frac{\pi}{12}\cos\frac{\pi}{12} \) Используем формулу синуса двойного угла \( 2\sin\alpha\cos\alpha = \sin(2\alpha) \): \( \sin(2 \cdot \frac{\pi}{12}) = \sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} = 0.5 \) Ответ: 0.5. Задание 4. Найдите значение: \( 10 - (\frac{1}{6})^{\log_{\frac{1}{6}} 8} \) По основному логарифмическому тождеству \( a^{\log_a b} = b \): \( 10 - 8 = 2 \) Ответ: 2. Задание 5. Решить уравнение: \( 5^{x-7} = \frac{1}{125} \) \( 5^{x-7} = 5^{-3} \) \( x - 7 = -3 \) \( x = 4 \) Ответ: 4. Задание 6. Решить уравнение: \( \log_2(2x+1) = \log_2 24 - \log_2 8 \) \( \log_2(2x+1) = \log_2(\frac{24}{8}) \) \( \log_2(2x+1) = \log_2 3 \) \( 2x + 1 = 3 \) \( 2x = 2 \) \( x = 1 \) Ответ: 1. Задание 7. Найдите значение: \( \frac{2^{3.5} \cdot 3^{5.5}}{6^{4.5}} \) \( \frac{2^{3.5} \cdot 3^{5.5}}{(2 \cdot 3)^{4.5}} = \frac{2^{3.5} \cdot 3^{5.5}}{2^{4.5} \cdot 3^{4.5}} = 2^{3.5-4.5} \cdot 3^{5.5-4.5} = 2^{-1} \cdot 3^1 = \frac{1}{2} \cdot 3 = 1.5 \) Ответ: 1.5. Задание 8. 1) Разница в цене: \( 800 - 680 = 120 \) рублей. 2) Процент снижения: \( \frac{120}{800} \cdot 100\% = \frac{12}{80} \cdot 100\% = 0.15 \cdot 100\% = 15\% \) Ответ: 15%. Задание 9. Решить уравнение: \( \log_2(x+1) = 2 \) По определению логарифма: \( x + 1 = 2^2 \) \( x + 1 = 4 \) \( x = 3 \) Ответ: 3. Задание 10. Дано: \( \sin\alpha = -\frac{3}{5} \), \( \pi < \alpha < \frac{3\pi}{2} \) (3-я четверть, \( \cos\alpha < 0 \)). 1) \( \cos\alpha = -\sqrt{1 - \sin^2\alpha} = -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5} \) 2) \( \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \cdot (-\frac{3}{5}) \cdot (-\frac{4}{5}) = \frac{24}{25} = 0.96 \) Ответ: 0.96. Задание 11. Найдите значение: \( \frac{x^{-5} \cdot x^8}{x} \) при \( x = 4 \) Упростим выражение: \( \frac{x^{-5+8}}{x^1} = \frac{x^3}{x^1} = x^{3-1} = x^2 \) Подставим \( x = 4 \): \( 4^2 = 16 \) Ответ: 16. Задание 12. \( 2\cos 15^\circ \cdot (\sin 50^\circ \cos 35^\circ - \cos 50^\circ \sin 35^\circ) \) В скобках формула синуса разности: \( \sin(50^\circ - 35^\circ) = \sin 15^\circ \) Получаем: \( 2\cos 15^\circ \sin 15^\circ = \sin(2 \cdot 15^\circ) = \sin 30^\circ = 0.5 \) Ответ: 0.5. Задание 13. Упростить: \( (\text{ctg}\alpha : \text{tg}\alpha) \cdot (1 - \cos^2\alpha) \) 1) \( \text{ctg}\alpha : \text{tg}\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} : \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} = \text{ctg}^2\alpha \) 2) \( 1 - \cos^2\alpha = \sin^2\alpha \) 3) \( \text{ctg}^2\alpha \cdot \sin^2\alpha = \frac{\cos^2\alpha}{\sin^2\alpha} \cdot \sin^2\alpha = \cos^2\alpha \) Ответ: \( \cos^2\alpha \). Задание 14. Вычислить: \( 3\log_2\frac{1}{8} + 10^{\lg 5} \) 1) \( 3\log_2 2^{-3} = 3 \cdot (-3) = -9 \) 2) \( 10^{\lg 5} = 5 \) 3) \( -9 + 5 = -4 \) Ответ: -4. Задание 15. Решить неравенство: \( 3^{x-5} > 81 \) \( 3^{x-5} > 3^4 \) Так как основание \( 3 > 1 \), знак неравенства сохраняется: \( x - 5 > 4 \) \( x > 9 \) Ответ: \( (9; +\infty) \).