I. Решить уравнения:
1. \( \log_2(3x+2) = -1 + \log_2(6-x) \)
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для \(x\):
\(3x+2 > 0 \Rightarrow 3x > -2 \Rightarrow x > -\frac{2}{3}\)
\(6-x > 0 \Rightarrow 6 > x \Rightarrow x < 6\)
Таким образом, ОДЗ: \(-\frac{2}{3} < x < 6\).
Теперь преобразуем уравнение:
\( \log_2(3x+2) = \log_2(2^{-1}) + \log_2(6-x) \)
\( \log_2(3x+2) = \log_2\left(\frac{1}{2}\right) + \log_2(6-x) \)
Используем свойство логарифмов \( \log_a b + \log_a c = \log_a (bc) \):
\( \log_2(3x+2) = \log_2\left(\frac{1}{2}(6-x)\right) \)
Так как основания логарифмов равны, то и их аргументы должны быть равны:
\( 3x+2 = \frac{1}{2}(6-x) \)
Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:
\( 2(3x+2) = 6-x \)
\( 6x+4 = 6-x \)
Перенесем все члены с \(x\) в одну сторону, а числа в другую:
\( 6x+x = 6-4 \)
\( 7x = 2 \)
\( x = \frac{2}{7} \)
Проверим, входит ли найденное значение \(x\) в ОДЗ: \(-\frac{2}{3} < \frac{2}{7} < 6\). Да, входит.
Ответ: \( x = \frac{2}{7} \)
2. \( 3\log_3^2 x - \log_3 x - 2 = 0 \)
Сначала найдем ОДЗ: \(x > 0\).
Это квадратное уравнение относительно \( \log_3 x \). Сделаем замену переменной:
Пусть \( y = \log_3 x \).
Тогда уравнение примет вид:
\( 3y^2 - y - 2 = 0 \)
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \):
\( D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 \)
\( y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \)
\( y_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1+5}{6} = \frac{6}{6} = 1 \)
\( y_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1-5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3} \)
Теперь вернемся к исходной переменной \(x\):
Случай 1: \( \log_3 x = 1 \)
\( x = 3^1 \)
\( x_1 = 3 \)
Случай 2: \( \log_3 x = -\frac{2}{3} \)
\( x = 3^{-\frac{2}{3}} \)
\( x_2 = \frac{1}{3^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{\sqrt[3]{3^2}} = \frac{1}{\sqrt[3]{9}} \)
Оба значения \(x\) больше 0, поэтому входят в ОДЗ.
Ответ: \( x_1 = 3 \), \( x_2 = \frac{1}{\sqrt[3]{9}} \)
II. Решить уравнения:
1. \( 2^x + 3 \cdot 2^{x-3} = 22 \)
Преобразуем второе слагаемое, используя свойство степеней \( a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n} \):
\( 2^x + 3 \cdot \frac{2^x}{2^3} = 22 \)
\( 2^x + 3 \cdot \frac{2^x}{8} = 22 \)
\( 2^x + \frac{3}{8} \cdot 2^x = 22 \)
Вынесем \( 2^x \) за скобки:
\( 2^x \left(1 + \frac{3}{8}\right) = 22 \)
\( 2^x \left(\frac{8}{8} + \frac{3}{8}\right) = 22 \)
\( 2^x \cdot \frac{11}{8} = 22 \)
Разделим обе части на \( \frac{11}{8} \) (или умножим на \( \frac{8}{11} \)):
\( 2^x = 22 \cdot \frac{8}{11} \)
\( 2^x = 2 \cdot 8 \)
\( 2^x = 16 \)
Представим 16 как степень двойки:
\( 2^x = 2^4 \)
Следовательно:
\( x = 4 \)
Ответ: \( x = 4 \)
2. \( \sqrt{5x-10} = 2-x \)
Сначала найдем ОДЗ для подкоренного выражения:
\( 5x-10 \ge 0 \Rightarrow 5x \ge 10 \Rightarrow x \ge 2 \)
Также, правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как корень всегда неотрицателен:
\( 2-x \ge 0 \Rightarrow 2 \ge x \Rightarrow x \le 2 \)
Объединяя эти два условия, получаем \( x = 2 \).
Подставим \( x=2 \) в исходное уравнение:
\( \sqrt{5 \cdot 2 - 10} = 2 - 2 \)
\( \sqrt{10 - 10} = 0 \)
\( \sqrt{0} = 0 \)
\( 0 = 0 \)
Уравнение верно при \( x=2 \).
Если бы мы возвели обе части в квадрат, не учтя условие \( 2-x \ge 0 \), мы могли бы получить посторонние корни. Давайте покажем это:
\( (\sqrt{5x-10})^2 = (2-x)^2 \)
\( 5x-10 = 4 - 4x + x^2 \)
\( x^2 - 4x - 5x + 4 + 10 = 0 \)
\( x^2 - 9x + 14 = 0 \)
Решим это квадратное уравнение:
\( D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 81 - 56 = 25 \)
\( x = \frac{-(-9) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{9 \pm 5}{2} \)
\( x_1 = \frac{9+5}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)
\( x_2 = \frac{9-5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
Теперь проверим эти корни с учетом условия \( x \le 2 \):
Для \( x_1 = 7 \): \( 7 \not\le 2 \), поэтому \( x=7 \) является посторонним корнем.
Для \( x_2 = 2 \): \( 2 \le 2 \), поэтому \( x=2 \) является решением.
Ответ: \( x = 2 \)
III. Решить неравенство:
\( \sqrt{3-x} < 5 \)
Сначала найдем ОДЗ для подкоренного выражения:
\( 3-x \ge 0 \Rightarrow 3 \ge x \Rightarrow x \le 3 \)
Так как левая часть неравенства (корень) всегда неотрицательна, а правая часть (5) положительна, мы можем возвести обе части неравенства в квадрат, не меняя знак неравенства:
\( (\sqrt{3-x})^2 < 5^2 \)
\( 3-x < 25 \)
Перенесем \(x\) в одну сторону, а числа в другую:
\( 3 - 25 < x \)
\( -22 < x \)
Теперь объединим это решение с ОДЗ \( x \le 3 \):
\( -22 < x \le 3 \)
Ответ: \( x \in (-22; 3] \)