Решение задачи: Вычисление степеней мнимой единицы i

Вот решение примеров. Вычислите: 1. \(i^{66}, i^{143}, i^{216}, i^{137}\) Вспомним степени мнимой единицы: \(i^1 = i\) \(i^2 = -1\) \(i^3 = -i\) \(i^4 = 1\) Далее степени повторяются с периодом 4. Чтобы найти значение \(i^n\), нужно найти остаток от деления \(n\) на 4. Для \(i^{66}\): \(66 \div 4 = 16\) с остатком \(2\). Значит, \(i^{66} = i^2 = -1\). Для \(i^{143}\): \(143 \div 4 = 35\) с остатком \(3\). Значит, \(i^{143} = i^3 = -i\). Для \(i^{216}\): \(216 \div 4 = 54\) с остатком \(0\). Значит, \(i^{216} = i^4 = 1\). Для \(i^{137}\): \(137 \div 4 = 34\) с остатком \(1\). Значит, \(i^{137} = i^1 = i\). Ответ: \(-1, -i, 1, i\). 2. \(i^{43} + i^{48} + i^{44} + i^{45}\) Найдем значения каждой степени: Для \(i^{43}\): \(43 \div 4 = 10\) с остатком \(3\). \(i^{43} = i^3 = -i\). Для \(i^{48}\): \(48 \div 4 = 12\) с остатком \(0\). \(i^{48} = i^4 = 1\). Для \(i^{44}\): \(44 \div 4 = 11\) с остатком \(0\). \(i^{44} = i^4 = 1\). Для \(i^{45}\): \(45 \div 4 = 11\) с остатком \(1\). \(i^{45} = i^1 = i\). Теперь сложим: \(i^{43} + i^{48} + i^{44} + i^{45} = -i + 1 + 1 + i = 2\). Ответ: \(2\). 3. \((i^{36} + i^{17})^{23}\) Найдем значения степеней внутри скобок: Для \(i^{36}\): \(36 \div 4 = 9\) с остатком \(0\). \(i^{36} = i^4 = 1\). Для \(i^{17}\): \(17 \div 4 = 4\) с остатком \(1\). \(i^{17} = i^1 = i\). Подставим в выражение: \((1 + i)^{23}\) Это выражение сложно вычислить напрямую. Возможно, в задании опечатка или предполагается, что нужно использовать бином Ньютона, но для школьника это может быть слишком сложно. Если это так, то ответ будет в виде \((1+i)^{23}\). Однако, если это часть более простого курса, возможно, есть более простой путь. Давайте рассмотрим \((1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i\). \((1+i)^4 = ((1+i)^2)^2 = (2i)^2 = 4i^2 = -4\). \((1+i)^8 = ((1+i)^4)^2 = (-4)^2 = 16\). \((1+i)^{16} = ((1+i)^8)^2 = 16^2 = 256\). Теперь \((1+i)^{23} = (1+i)^{16} \cdot (1+i)^4 \cdot (1+i)^2 \cdot (1+i)^1\). \((1+i)^{23} = 256 \cdot (-4) \cdot (2i) \cdot (1+i)\). \((1+i)^{23} = -1024 \cdot (2i) \cdot (1+i)\). \((1+i)^{23} = -2048i \cdot (1+i)\). \((1+i)^{23} = -2048i - 2048i^2\). \((1+i)^{23} = -2048i - 2048(-1)\). \((1+i)^{23} = 2048 - 2048i\). Ответ: \(2048 - 2048i\). 4. \((i^{133} + i^{115} + i^{200} + i^{142})(i^{17} + i^{36})\) Вычислим значения степеней в первой скобке: Для \(i^{133}\): \(133 \div 4 = 33\) с остатком \(1\). \(i^{133} = i^1 = i\). Для \(i^{115}\): \(115 \div 4 = 28\) с остатком \(3\). \(i^{115} = i^3 = -i\). Для \(i^{200}\): \(200 \div 4 = 50\) с остатком \(0\). \(i^{200} = i^4 = 1\). Для \(i^{142}\): \(142 \div 4 = 35\) с остатком \(2\). \(i^{142} = i^2 = -1\). Первая скобка: \(i + (-i) + 1 + (-1) = i - i + 1 - 1 = 0\). Так как первая скобка равна 0, то все произведение будет равно 0. \(0 \cdot (i^{17} + i^{36}) = 0\). Ответ: \(0\). 5. \(i^{145} + i^{147} + i^{264} + i^{345} + i^{117}\) Найдем значения каждой степени: Для \(i^{145}\): \(145 \div 4 = 36\) с остатком \(1\). \(i^{145} = i^1 = i\). Для \(i^{147}\): \(147 \div 4 = 36\) с остатком \(3\). \(i^{147} = i^3 = -i\). Для \(i^{264}\): \(264 \div 4 = 66\) с остатком \(0\). \(i^{264} = i^4 = 1\). Для \(i^{345}\): \(345 \div 4 = 86\) с остатком \(1\). \(i^{345} = i^1 = i\). Для \(i^{117}\): \(117 \div 4 = 29\) с остатком \(1\). \(i^{117} = i^1 = i\). Теперь сложим: \(i + (-i) + 1 + i + i = i - i + 1 + i + i = 1 + 2i\). Ответ: \(1 + 2i\). 6. \((i^{13} + i^{14} + i^{15})^{32}\) Найдем значения степеней внутри скобок: Для \(i^{13}\): \(13 \div 4 = 3\) с остатком \(1\). \(i^{13} = i^1 = i\). Для \(i^{14}\): \(14 \div 4 = 3\) с остатком \(2\). \(i^{14} = i^2 = -1\). Для \(i^{15}\): \(15 \div 4 = 3\) с остатком \(3\). \(i^{15} = i^3 = -i\). Подставим в выражение: \((i + (-1) + (-i))^{32} = (i - 1 - i)^{32} = (-1)^{32}\). \((-1)^{32} = 1\). Ответ: \(1\). 7. \((i^{64} + i^{17} + i^{13} + i^{82})(i^{72} - i^{34})\) Вычислим значения степеней в первой скобке: Для \(i^{64}\): \(64 \div 4 = 16\) с остатком \(0\). \(i^{64} = i^4 = 1\). Для \(i^{17}\): \(17 \div 4 = 4\) с остатком \(1\). \(i^{17} = i^1 = i\). Для \(i^{13}\): \(13 \div 4 = 3\) с остатком \(1\). \(i^{13} = i^1 = i\). Для \(i^{82}\): \(82 \div 4 = 20\) с остатком \(2\). \(i^{82} = i^2 = -1\). Первая скобка: \(1 + i + i + (-1) = 1 + 2i - 1 = 2i\). Вычислим значения степеней во второй скобке: Для \(i^{72}\): \(72 \div 4 = 18\) с остатком \(0\). \(i^{72} = i^4 = 1\). Для \(i^{34}\): \(34 \div 4 = 8\) с остатком \(2\). \(i^{34} = i^2 = -1\). Вторая скобка: \(1 - (-1) = 1 + 1 = 2\). Теперь перемножим результаты: \((2i) \cdot (2) = 4i\). Ответ: \(4i\).