Решение: Вычисление степеней мнимой единицы i

Вот решения примеров из задания. Задания для самостоятельной работы №1. Вычислите: 1. \(i^{66}\), \(i^{143}\), \(i^{216}\), \(i^{137}\) Для вычисления степеней мнимой единицы \(i\) используем свойство, что степени \(i\) повторяются с периодом 4: \(i^1 = i\) \(i^2 = -1\) \(i^3 = -i\) \(i^4 = 1\) Чтобы найти значение \(i^n\), нужно разделить \(n\) на 4 и посмотреть на остаток. * Для \(i^{66}\): \(66 \div 4 = 16\) с остатком \(2\). Значит, \(i^{66} = i^2 = -1\). * Для \(i^{143}\): \(143 \div 4 = 35\) с остатком \(3\). Значит, \(i^{143} = i^3 = -i\). * Для \(i^{216}\): \(216 \div 4 = 54\) с остатком \(0\). Значит, \(i^{216} = i^4 = 1\). * Для \(i^{137}\): \(137 \div 4 = 34\) с остатком \(1\). Значит, \(i^{137} = i^1 = i\). Ответ: \(i^{66} = -1\), \(i^{143} = -i\), \(i^{216} = 1\), \(i^{137} = i\). 2. \(i^{43} + i^{48} + i^{44} + i^{45}\) Вычислим каждую степень отдельно: * \(i^{43}\): \(43 \div 4 = 10\) с остатком \(3\). Значит, \(i^{43} = i^3 = -i\). * \(i^{48}\): \(48 \div 4 = 12\) с остатком \(0\). Значит, \(i^{48} = i^4 = 1\). * \(i^{44}\): \(44 \div 4 = 11\) с остатком \(0\). Значит, \(i^{44} = i^4 = 1\). * \(i^{45}\): \(45 \div 4 = 11\) с остатком \(1\). Значит, \(i^{45} = i^1 = i\). Теперь сложим результаты: \(i^{43} + i^{48} + i^{44} + i^{45} = -i + 1 + 1 + i = (-i + i) + (1 + 1) = 0 + 2 = 2\). Ответ: \(2\). 3. \((i^{36} + i^{17})^{23}\) Вычислим степени внутри скобок: * \(i^{36}\): \(36 \div 4 = 9\) с остатком \(0\). Значит, \(i^{36} = i^4 = 1\). * \(i^{17}\): \(17 \div 4 = 4\) с остатком \(1\). Значит, \(i^{17} = i^1 = i\). Подставим значения в выражение: \((1 + i)^{23}\) Это выражение сложно вычислить напрямую. Возможно, в задании есть опечатка или предполагается более простое решение. Если нужно точное значение, то это будет очень длинное комплексное число. Если же предполагается, что внутри скобок должно получиться что-то более простое, например, 0, 1, -1, \(i\) или \(-i\), то это не так. Давайте предположим, что нужно просто упростить выражение, если это возможно, или оставить в таком виде. Если бы степень была 4, то \((1+i)^4 = ((1+i)^2)^2 = (1+2i+i^2)^2 = (1+2i-1)^2 = (2i)^2 = 4i^2 = -4\). Но у нас степень 23. \((1+i)^{23} = (1+i)^{20} \cdot (1+i)^3 = ((1+i)^4)^5 \cdot (1+i)^3 = (-4)^5 \cdot (1+i)^3\) \((-4)^5 = -1024\) \((1+i)^3 = (1+i)^2 \cdot (1+i) = (1+2i+i^2) \cdot (1+i) = (1+2i-1) \cdot (1+i) = 2i \cdot (1+i) = 2i + 2i^2 = 2i - 2 = -2 + 2i\) Тогда: \((1+i)^{23} = -1024 \cdot (-2 + 2i) = 2048 - 2048i\). Ответ: \(2048 - 2048i\). 4. \((i^{133} + i^{115} + i^{200} + i^{142})(i^{17} + i^{36})\) Вычислим каждую степень: * \(i^{133}\): \(133 \div 4 = 33\) с остатком \(1\). Значит, \(i^{133} = i\). * \(i^{115}\): \(115 \div 4 = 28\) с остатком \(3\). Значит, \(i^{115} = -i\). * \(i^{200}\): \(200 \div 4 = 50\) с остатком \(0\). Значит, \(i^{200} = 1\). * \(i^{142}\): \(142 \div 4 = 35\) с остатком \(2\). Значит, \(i^{142} = -1\). * \(i^{17}\): \(17 \div 4 = 4\) с остатком \(1\). Значит, \(i^{17} = i\). * \(i^{36}\): \(36 \div 4 = 9\) с остатком \(0\). Значит, \(i^{36} = 1\). Подставим значения в выражение: \((i + (-i) + 1 + (-1))(i + 1)\) \((i - i + 1 - 1)(i + 1)\) \((0)(i + 1) = 0\) Ответ: \(0\). 5. \(i^{145} + i^{147} + i^{264} + i^{345} + i^{117}\) Вычислим каждую степень: * \(i^{145}\): \(145 \div 4 = 36\) с остатком \(1\). Значит, \(i^{145} = i\). * \(i^{147}\): \(147 \div 4 = 36\) с остатком \(3\). Значит, \(i^{147} = -i\). * \(i^{264}\): \(264 \div 4 = 66\) с остатком \(0\). Значит, \(i^{264} = 1\). * \(i^{345}\): \(345 \div 4 = 86\) с остатком \(1\). Значит, \(i^{345} = i\). * \(i^{117}\): \(117 \div 4 = 29\) с остатком \(1\). Значит, \(i^{117} = i\). Теперь сложим результаты: \(i + (-i) + 1 + i + i = (i - i) + 1 + i + i = 0 + 1 + 2i = 1 + 2i\). Ответ: \(1 + 2i\). 6. \((i^{13} + i^{14} + i^{15})^{32}\) Вычислим степени внутри скобок: * \(i^{13}\): \(13 \div 4 = 3\) с остатком \(1\). Значит, \(i^{13} = i\). * \(i^{14}\): \(14 \div 4 = 3\) с остатком \(2\). Значит, \(i^{14} = -1\). * \(i^{15}\): \(15 \div 4 = 3\) с остатком \(3\). Значит, \(i^{15} = -i\). Подставим значения в выражение: \((i + (-1) + (-i))^{32}\) \((i - 1 - i)^{32}\) \((-1)^{32}\) Так как степень четная, \((-1)^{32} = 1\). Ответ: \(1\). 7. \((i^{64} + i^{17} + i^{13} + i^{82})(i^{72} - i^{34})\) Вычислим каждую степень: * \(i^{64}\): \(64 \div 4 = 16\) с остатком \(0\). Значит, \(i^{64} = 1\). * \(i^{17}\): \(17 \div 4 = 4\) с остатком \(1\). Значит, \(i^{17} = i\). * \(i^{13}\): \(13 \div 4 = 3\) с остатком \(1\). Значит, \(i^{13} = i\). * \(i^{82}\): \(82 \div 4 = 20\) с остатком \(2\). Значит, \(i^{82} = -1\). * \(i^{72}\): \(72 \div 4 = 18\) с остатком \(0\). Значит, \(i^{72} = 1\). * \(i^{34}\): \(34 \div 4 = 8\) с остатком \(2\). Значит, \(i^{34} = -1\). Подставим значения в выражение: \((1 + i + i + (-1))(1 - (-1))\) \((1 + 2i - 1)(1 + 1)\) \((2i)(2)\) \(4i\) Ответ: \(4i\).