Решение задачи: Примеры с дробями и выражениями

Ниже представлено подробное решение примеров из задания, оформленное для записи в тетрадь. а) \(\frac{17a^2}{26b^2c^3} \cdot \frac{39b^3c^2}{34a^4}\) Решение: Перемножим дроби и сократим коэффициенты и степени переменных: \[ \frac{17 \cdot 39 \cdot a^2 \cdot b^3 \cdot c^2}{26 \cdot 34 \cdot b^2 \cdot c^3 \cdot a^4} \] Сократим числа: 17 и 34 на 17 (останется 1 и 2), 39 и 26 на 13 (останется 3 и 2). Сократим переменные: \(a^2\) и \(a^4\) на \(a^2\), \(b^3\) и \(b^2\) на \(b^2\), \(c^2\) и \(c^3\) на \(c^2\). \[ \frac{1 \cdot 3 \cdot b}{2 \cdot 2 \cdot c \cdot a^2} = \frac{3b}{4a^2c} \] б) \(\frac{4x - y}{4x} : (16x^2 - y^2)\) Решение: Представим выражение в скобках как дробь и разложим его по формуле разности квадратов: \(16x^2 - y^2 = (4x - y)(4x + y)\). При делении дробь переворачивается: \[ \frac{4x - y}{4x} \cdot \frac{1}{(4x - y)(4x + y)} \] Сократим на общий множитель \((4x - y)\): \[ \frac{1}{4x(4x + y)} = \frac{1}{16x^2 + 4xy} \] в) \(\frac{3m + 1}{3m^2 - 27n^2} \cdot \frac{3m + 9n}{2 + 6m}\) Решение: Разложим знаменатели и числители на множители: 1) \(3m^2 - 27n^2 = 3(m^2 - 9n^2) = 3(m - 3n)(m + 3n)\) 2) \(3m + 9n = 3(m + 3n)\) 3) \(2 + 6m = 2(1 + 3m)\) Запишем общее выражение: \[ \frac{(3m + 1) \cdot 3(m + 3n)}{3(m - 3n)(m + 3n) \cdot 2(3m + 1)} \] Сократим на \(3\), на \((3m + 1)\) и на \((m + 3n)\): \[ \frac{1}{2(m - 3n)} = \frac{1}{2m - 6n} \] г) \(\frac{7y - 49}{y^2 + 7y} : \frac{y - 7}{y^2 + 14y + 49}\) Решение: Разложим выражения на множители: 1) \(7y - 49 = 7(y - 7)\) 2) \(y^2 + 7y = y(y + 7)\) 3) \(y^2 + 14y + 49 = (y + 7)^2\) (квадрат суммы) Заменим деление умножением, перевернув вторую дробь: \[ \frac{7(y - 7)}{y(y + 7)} \cdot \frac{(y + 7)^2}{y - 7} \] Сократим на \((y - 7)\) и на \((y + 7)\): \[ \frac{7 \cdot (y + 7)}{y} = \frac{7y + 49}{y} \]