Решение задачи: Кратчайшее расстояние от точки до отрезка

Задача 5.3. Определить кратчайшее расстояние от точки \( C \) до отрезка прямой \( AB \). Кратчайшим расстоянием от точки до прямой является перпендикуляр. Чтобы измерить его истинную длину на чертеже, нужно преобразовать прямую \( AB \) в проецирующую (в точку). Тогда перпендикуляр будет параллелен плоскости проекций и отобразится без искажений. Решение выполняется методом замены плоскостей проекций в два этапа: Этап 1: Преобразование прямой \( AB \) в линию уровня (нахождение натуральной величины). 1. Проводим новую ось \( X_1 \) параллельно горизонтальной проекции \( A'B' \). 2. Из точек \( A' \), \( B' \) и \( C' \) проводим линии связи перпендикулярно новой оси \( X_1 \). 3. Откладываем от оси \( X_1 \) расстояния (высоты), равные расстояниям от старой оси \( X \) до фронтальных проекций \( A'' \), \( B'' \) и \( C'' \). 4. Получаем новые проекции \( A_1 \), \( B_1 \) и \( C_1 \). Отрезок \( A_1 B_1 \) теперь отображается в натуральную величину. Этап 2: Преобразование прямой \( AB \) в проецирующую (в точку). 1. Проводим вторую новую ось \( X_2 \) перпендикулярно отрезку \( A_1 B_1 \). 2. Проводим линию связи от точки \( C_1 \) и одну общую линию связи для точек \( A_1 \) и \( B_1 \) (так как они лежат на одной прямой, перпендикулярной оси). 3. Откладываем от оси \( X_2 \) расстояния, которые были от оси \( X_1 \) до точек \( A' \), \( B' \) и \( C' \). 4. Точки \( A \) и \( B \) совпадут в одну проекцию \( A_2 \equiv B_2 \). Точка \( C \) спроецируется в точку \( C_2 \). 5. Соединяем \( C_2 \) и \( A_2 \). Отрезок \( [C_2 A_2] \) и есть искомое кратчайшее расстояние в натуральную величину. Запись для тетради: 1. Первая замена: \( \pi_1 / \pi_2 \rightarrow \pi_1 / \pi_4 \). Ось \( X_1 \parallel A'B' \). Находим \( A_4, B_4, C_4 \). 2. Вторая замена: \( \pi_1 / \pi_4 \rightarrow \pi_4 / \pi_5 \). Ось \( X_2 \perp A_4 B_4 \). Находим \( A_5 (B_5) \) и \( C_5 \). 3. Результат: отрезок \( [C_5 A_5] \) — натуральная величина кратчайшего расстояния.