Разница между xdydz и ydydz в поверхностных интегралах

Это отличный вопрос, который помогает глубже понять суть поверхностных интегралов второго рода. Разница между ними принципиальная и заключается в том, какая функция интегрируется по проекции поверхности. Давайте разберем это подробно: 1. Геометрический смысл подынтегрального выражения: Поверхностный интеграл второго рода в общем виде записывается как \( \iint_S P \, dy \, dz + Q \, dz \, dx + R \, dx \, dy \). В вашем исходном задании \( P = y \). Это означает, что мы берем значение координаты \( y \) в каждой точке поверхности и умножаем на площадь проекции элементарной площадки на плоскость \( Oyz \). 2. Случай \( \iint_S x \, dy \, dz \): Если бы в условии стояло \( x \), то при переходе к двойному интегралу по плоскости \( Oyz \) мы должны были бы подставить вместо \( x \) его выражение через остальные переменные из уравнения поверхности. Так как для нашей сферы \( x = \sqrt{16 - y^2 - z^2} \), интеграл принял бы вид: \[ \iint_D \sqrt{16 - y^2 - z^2} \, dy \, dz \] В полярных координатах это выглядело бы так: \[ \int_{-\pi/2}^{0} d\varphi \int_{0}^{4} \sqrt{16 - r^2} \cdot r \, dr \] Этот интеграл вычисляется методом замены переменной и дает совершенно другое числовое значение. 3. Случай \( \iint_S y \, dy \, dz \) (ваш вариант): Здесь функция \( P = y \) уже выражена через переменные плоскости проекции (\( y \) и \( z \)). Нам не нужно подставлять уравнение сферы внутрь интеграла, так как \( y \) — это независимая переменная в плоскости \( Oyz \). Мы просто интегрируем "саму переменную" по области проекции. Резюме: - В случае \( x \, dy \, dz \) мы интегрируем "высоту" (удаленность точки сферы от плоскости проекции). - В случае \( y \, dy \, dz \) мы интегрируем одну из координат самой плоскости проекции. С точки зрения физики (если рассматривать это как поток векторного поля \( \vec{F} \)): - Для \( x \, dy \, dz \) поле имеет вид \( \vec{F} = (x, 0, 0) \). - Для \( y \, dy \, dz \) поле имеет вид \( \vec{F} = (y, 0, 0) \). Хотя поле в обоих случаях направлено вдоль оси \( Ox \), его интенсивность в разных точках пространства распределяется по-разному, что и приводит к разным результатам.