Решение задачи: Найти значения выражений и решить систему

Ниже представлено решение заданий для I варианта, оформленное для записи в школьную тетрадь. Задание 1. Найти значения выражения: а) \[\frac{49^7 \cdot 14^3}{7^{15}}\] Представим числа через простые множители: \(49 = 7^2\), \(14 = 7 \cdot 2\). \[\frac{(7^2)^7 \cdot (7 \cdot 2)^3}{7^{15}} = \frac{7^{14} \cdot 7^3 \cdot 2^3}{7^{15}} = \frac{7^{17} \cdot 8}{7^{15}} = 7^{17-15} \cdot 8 = 7^2 \cdot 8 = 49 \cdot 8 = 392\] Ответ: 392. б) \(\log_5 62,5 + \log_5 2\) Используем свойство суммы логарифмов: \(\log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c)\). \[\log_5 (62,5 \cdot 2) = \log_5 125\] Так как \(125 = 5^3\), то: \[\log_5 5^3 = 3\] Ответ: 3. Задание 2. Решить систему методом Крамера: \[\begin{cases} 4x - 3y = 23 \\ 3x + 11y = 4 \end{cases}\] 1) Находим главный определитель: \[\Delta = \begin{vmatrix} 4 & -3 \\ 3 & 11 \end{vmatrix} = 4 \cdot 11 - (-3) \cdot 3 = 44 + 9 = 53\] 2) Находим вспомогательный определитель для \(x\): \[\Delta_x = \begin{vmatrix} 23 & -3 \\ 4 & 11 \end{vmatrix} = 23 \cdot 11 - (-3) \cdot 4 = 253 + 12 = 265\] 3) Находим вспомогательный определитель для \(y\): \[\Delta_y = \begin{vmatrix} 4 & 23 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 4 \cdot 4 - 23 \cdot 3 = 16 - 69 = -53\] 4) Вычисляем значения переменных: \[x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{265}{53} = 5\] \[y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-53}{53} = -1\] Ответ: (5; -1). Задание 3. Выполнить действия: а) \(5\frac{2}{3} x^{-5} b^{-6} c^8 \cdot 3 x^5 b^8 c^{-9}\) Переведем в неправильную дробь: \(5\frac{2}{3} = \frac{17}{3}\). \[\frac{17}{3} \cdot 3 \cdot x^{-5+5} \cdot b^{-6+8} \cdot c^{8-9} = 17 \cdot x^0 \cdot b^2 \cdot c^{-1} = \frac{17b^2}{c}\] б) \((\frac{1}{8})^{-2/3} \cdot 4^{1/2} + 64^{-2/3}\) \[(8)^{2/3} \cdot \sqrt{4} + (4^3)^{-2/3} = (2^3)^{2/3} \cdot 2 + 4^{-2} = 2^2 \cdot 2 + \frac{1}{16} = 8 + \frac{1}{16} = 8\frac{1}{16} = 8,0625\] Задание 4. Решить уравнение: \[\log_3 (17 - 16x) = 4\] По определению логарифма: \[17 - 16x = 3^4\] \[17 - 16x = 81\] \[-16x = 81 - 17\] \[-16x = 64\] \[x = \frac{64}{-16}\] \[x = -4\] Проверка: \(17 - 16 \cdot (-4) = 17 + 64 = 81 > 0\), корень верный. Ответ: -4.