Решение задач со степенями и корнями

Вариант 1 Задание 1. Представьте выражения в виде степени числа x (x > 0): а) \(\sqrt[3]{x^2} \cdot \sqrt{x} = x^{\frac{2}{3}} \cdot x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{3} + \frac{1}{2}} = x^{\frac{4+3}{6}} = x^{\frac{7}{6}}\) б) \(\frac{x^{0,5}}{\sqrt[4]{x^2}} = \frac{x^{0,5}}{x^{\frac{2}{4}}} = \frac{x^{0,5}}{x^{0,5}} = x^{0,5 - 0,5} = x^0 = 1\) Задание 2. Вычислите: а) \(\frac{3^{\frac{2}{3}} \cdot 81^{\frac{3}{4}}}{3^{-\frac{1}{3}}} = \frac{3^{\frac{2}{3}} \cdot (3^4)^{\frac{3}{4}}}{3^{-\frac{1}{3}}} = \frac{3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^3}{3^{-\frac{1}{3}}} = 3^{\frac{2}{3} + 3 - (-\frac{1}{3})} = 3^{\frac{2}{3} + 3 + \frac{1}{3}} = 3^{1 + 3} = 3^4 = 81\) б) \((10^{-\frac{1}{3}} \cdot 0,01^{\frac{1}{3}})^{-1} = (10^{-\frac{1}{3}} \cdot (10^{-2})^{\frac{1}{3}})^{-1} = (10^{-\frac{1}{3}} \cdot 10^{-\frac{2}{3}})^{-1} = (10^{-\frac{1}{3} - \frac{2}{3}})^{-1} = (10^{-1})^{-1} = 10^1 = 10\) Задание 3. Упростите выражение: \((a + b^{\frac{1}{4}})(a - b^{\frac{1}{4}}) + \sqrt{b}\) Используем формулу разности квадратов \((x+y)(x-y) = x^2 - y^2\): \(a^2 - (b^{\frac{1}{4}})^2 + \sqrt{b} = a^2 - b^{\frac{2}{4}} + \sqrt{b} = a^2 - b^{\frac{1}{2}} + \sqrt{b} = a^2 - \sqrt{b} + \sqrt{b} = a^2\) Задание 4. Упростите выражение: \[ \frac{x-1}{x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}} - 1} - x^{\frac{1}{4}} \] Разложим на множители: 1) \(x - 1 = (x^{\frac{1}{2}} - 1)(x^{\frac{1}{2}} + 1)\) 2) \(x^{\frac{3}{4}} + x^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{4}} + 1)\) 3) \(x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{4}} + 1)\) Подставим в пример: \[ \frac{(x^{\frac{1}{2}} - 1)(x^{\frac{1}{2}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}}(x^{\frac{1}{4}} + 1)} \cdot \frac{x^{\frac{1}{4}}(x^{\frac{1}{4}} + 1)}{x^{\frac{1}{2}} - 1} - x^{\frac{1}{4}} \] Сокращаем на \((x^{\frac{1}{2}} - 1)\) и \((x^{\frac{1}{4}} + 1)\): \[ \frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot x^{\frac{1}{4}} - x^{\frac{1}{4}} \] Раскроем скобки, умножив каждое слагаемое в числителе на \(x^{\frac{1}{4}}\) и разделив на \(x^{\frac{1}{2}}\): \[ \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1 \cdot x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{2}}} - x^{\frac{1}{4}} = x^{\frac{1}{4}} + x^{\frac{1}{4} - \frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{4}} = x^{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{\sqrt[4]{x}} \]