Решение задач с дробями и пропорциями

1 Вариант 1. Дробные выражения а) \[ \frac{\frac{1}{4} + \frac{1}{8}}{\frac{3}{8}} = \frac{\frac{2+1}{8}}{\frac{3}{8}} = \frac{\frac{3}{8}}{\frac{3}{8}} = 1 \] б) \[ \frac{\frac{2}{3} - \frac{1}{6}}{\frac{5}{9}} = \frac{\frac{4-1}{6}}{\frac{5}{9}} = \frac{\frac{3}{6}}{\frac{5}{9}} = \frac{1}{2} : \frac{5}{9} = \frac{1}{2} \cdot \frac{9}{5} = \frac{9}{10} = 0,9 \] в) \[ \frac{\frac{4}{7} \cdot \frac{3}{5}}{\frac{6}{35}} = \frac{\frac{12}{35}}{\frac{6}{35}} = \frac{12}{35} \cdot \frac{35}{6} = \frac{12}{6} = 2 \] 2. Пропорции а) \[ \frac{x}{8} = \frac{3}{4} \] \[ 4x = 8 \cdot 3 \] \[ 4x = 24 \] \[ x = 6 \] б) \[ \frac{5}{x} = \frac{15}{24} \] \[ 15x = 5 \cdot 24 \] \[ 15x = 120 \] \[ x = 120 : 15 \] \[ x = 8 \] в) \[ \frac{x + 2}{10} = \frac{3}{5} \] \[ 5(x + 2) = 10 \cdot 3 \] \[ 5x + 10 = 30 \] \[ 5x = 20 \] \[ x = 4 \] 3. Задача на прямую пропорцию 3 ч — 240 км 5 ч — x км \[ \frac{3}{5} = \frac{240}{x} \] \[ 3x = 5 \cdot 240 \] \[ 3x = 1200 \] \[ x = 400 \] Ответ: 400 км. 4. Задача на прямую пропорцию 4 порции — 200 г 10 порций — x г \[ \frac{4}{10} = \frac{200}{x} \] \[ 4x = 10 \cdot 200 \] \[ 4x = 2000 \] \[ x = 500 \] Ответ: 500 г. 5. Пример со звёздочкой \[ \frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 4}{5} \] \[ 5(2x - 1) = 3(x + 4) \] \[ 10x - 5 = 3x + 12 \] \[ 10x - 3x = 12 + 5 \] \[ 7x = 17 \] \[ x = \frac{17}{7} \] \[ x = 2\frac{3}{7} \] Ответ: \( 2\frac{3}{7} \).