Решение показательных уравнений в столбик

Хорошо, вот решения всех уравнений в столбик, чтобы было удобно переписать в тетрадь.


Самостоятельная работа «Решение показательных уравнений»

1. Решим уравнение: \(2^{7-2x} = \left(\frac{1}{2}\right)^{x-4}\)

\(2^{7-2x} = (2^{-1})^{x-4}\) \(2^{7-2x} = 2^{-(x-4)}\) \(2^{7-2x} = 2^{4-x}\) \(7-2x = 4-x\) \(7-4 = 2x-x\) \(3 = x\)

Ответ: \(x=3\)

2. Решим уравнение: \(2^{x+2} + 2^x = 5\)

\(2^x \cdot 2^2 + 2^x = 5\) \(4 \cdot 2^x + 2^x = 5\) \(2^x (4+1) = 5\) \(5 \cdot 2^x = 5\) \(2^x = \frac{5}{5}\) \(2^x = 1\) \(2^x = 2^0\) \(x = 0\)

Ответ: \(x=0\)

3. Решим уравнение: \(9^x - 6 \cdot 3^x = 27\)

\((3^2)^x - 6 \cdot 3^x = 27\) \((3^x)^2 - 6 \cdot 3^x - 27 = 0\) Пусть \(t = 3^x\), \(t > 0\). \(t^2 - 6t - 27 = 0\) По теореме Виета: \(t_1 = 9\), \(t_2 = -3\)

Так как \(t > 0\), то \(t = 9\). \(3^x = 9\) \(3^x = 3^2\) \(x = 2\)

Ответ: \(x=2\)

4. Решим уравнение: \(3^{x+1} - 4 \cdot 3^{x-2} = 69\)

\(3^x \cdot 3^1 - 4 \cdot \frac{3^x}{3^2} = 69\) \(3 \cdot 3^x - 4 \cdot \frac{3^x}{9} = 69\) \(3^x \left(3 - \frac{4}{9}\right) = 69\) \(3^x \left(\frac{27}{9} - \frac{4}{9}\right) = 69\) \(3^x \left(\frac{23}{9}\right) = 69\) \(3^x = 69 \cdot \frac{9}{23}\) \(3^x = 3 \cdot 9\) \(3^x = 27\) \(3^x = 3^3\) \(x = 3\)

Ответ: \(x=3\)

5. Решим уравнение: \(27^{|x^2-2|} = 81\)

\((3^3)^{|x^2-2|} = 3^4\) \(3^{3|x^2-2|} = 3^4\) \(3|x^2-2| = 4\) \(|x^2-2| = \frac{4}{3}\)

Случай 1: \(x^2-2 = \frac{4}{3}\) \(x^2 = 2 + \frac{4}{3}\) \(x^2 = \frac{6}{3} + \frac{4}{3}\) \(x^2 = \frac{10}{3}\) \(x = \pm\sqrt{\frac{10}{3}}\)

Случай 2: \(x^2-2 = -\frac{4}{3}\) \(x^2 = 2 - \frac{4}{3}\) \(x^2 = \frac{6}{3} - \frac{4}{3}\) \(x^2 = \frac{2}{3}\) \(x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}\)

Ответ: \(x = \pm\sqrt{\frac{10}{3}}\), \(x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}\)

6. Решим уравнение: \(\left(\frac{2}{9}\right)^{2x+3} = 4.5^{x-2}\)

\(\left(\frac{2}{9}\right)^{2x+3} = \left(\frac{9}{2}\right)^{x-2}\) \(\left(\frac{2}{9}\right)^{2x+3} = \left(\left(\frac{2}{9}\right)^{-1}\right)^{x-2}\) \(\left(\frac{2}{9}\right)^{2x+3} = \left(\frac{2}{9}\right)^{-(x-2)}\) \(\left(\frac{2}{9}\right)^{2x+3} = \left(\frac{2}{9}\right)^{2-x}\) \(2x+3 = 2-x\) \(2x+x = 2-3\) \(3x = -1\) \(x = -\frac{1}{3}\)

Ответ: \(x = -\frac{1}{3}\)

7. Решим уравнение: \(3^{x+2} + 3^x = 30\)

\(3^x \cdot 3^2 + 3^x = 30\) \(9 \cdot 3^x + 3^x = 30\) \(3^x (9+1) = 30\) \(10 \cdot 3^x = 30\) \(3^x = \frac{30}{10}\) \(3^x = 3\) \(3^x = 3^1\) \(x = 1\)

Ответ: \(x=1\)

8. Решим уравнение: \(4^x - 14 \cdot 2^x = 32\)

\((2^2)^x - 14 \cdot 2^x = 32\) \((2^x)^2 - 14 \cdot 2^x - 32 = 0\) Пусть \(t = 2^x\), \(t > 0\). \(t^2 - 14t - 32 = 0\) По теореме Виета: \(t_1 = 16\), \(t_2 = -2\)

Так как \(t > 0\), то \(t = 16\). \(2^x = 16\) \(2^x = 2^4\) \(x = 4\)

Ответ: \(x=4\)

9. Решим уравнение: \(\left(\frac{1}{3}\right)^x + 3^{x+3} = 12\)

\((3^{-1})^x + 3^x \cdot 3^3 = 12\) \(3^{-x} + 27 \cdot 3^x = 12\) Пусть \(t = 3^x\), \(t > 0\). Тогда \(3^{-x} = \frac{1}{t}\). \(\frac{1}{t} + 27t = 12\) Умножим на \(t\): \(1 + 27t^2 = 12t\) \(27t^2 - 12t + 1 = 0\) Найдем дискриминант: \(D = (-12)^2 - 4 \cdot 27 \cdot 1 = 144 - 108 = 36\) \(t = \frac{12 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 27} = \frac{12 \pm 6}{54}\)

\(t_1 = \frac{12+6}{54} = \frac{18}{54} = \frac{1}{3}\) \(3^x = \frac{1}{3}\) \(3^x = 3^{-1}\) \(x = -1\)

\(t_2 = \frac{12-6}{54} = \frac{6}{54} = \frac{1}{9}\) \(3^x = \frac{1}{9}\) \(3^x = 3^{-2}\) \(x = -2\)

Ответ: \(x=-1\), \(x=-2\)

10. Решим уравнение: \(8^{|x^2-1|} = 16\)

\((2^3)^{|x^2-1|} = 2^4\) \(2^{3|x^2-1|} = 2^4\) \(3|x^2-1| = 4\) \(|x^2-1| = \frac{4}{3}\)

Случай 1: \(x^2-1 = \frac{4}{3}\) \(x^2 = 1 + \frac{4}{3}\) \(x^2 = \frac{3}{3} + \frac{4}{3}\) \(x^2 = \frac{7}{3}\) \(x = \pm\sqrt{\frac{7}{3}}\)

Случай 2: \(x^2-1 = -\frac{4}{3}\) \(x^2 = 1 - \frac{4}{3}\) \(x^2 = \frac{3}{3} - \frac{4}{3}\) \(x^2 = -\frac{1}{3}\) Нет действительных решений.

Ответ: \(x = \pm\sqrt{\frac{7}{3}}\)