Решение задачи: Перпендикуляр и наклонная (Вариант 1)

Ниже представлены решения заданий теста по теме «Перпендикуляр и наклонная» (Вариант 1), оформленные для записи в тетрадь. Задание 1. Вопрос: Какое из следующих утверждений неверно? Решение: Рассмотрим утверждение в). Согласно свойствам наклонных, если две наклонные, проведенные из одной точки к плоскости, равны, то равны и их проекции. Следовательно, утверждение о том, что они имеют разные проекции, является ложным. Ответ: в) равные наклонные, проведенные к плоскости из одной точки, имеют разные проекции. Задание 2. Вопрос: Прямая, проведенная в плоскости и перпендикулярная проекции наклонной на эту плоскость, перпендикулярна и... Решение: Согласно теореме о трех перпендикулярах, если прямая на плоскости перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной. Ответ: б) самой наклонной. Задание 3. Вопрос: Расстояние от точки до прямой равно длине... Решение: По определению, расстоянием от точки до прямой (или плоскости) является длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую (или плоскость). Ответ: г) перпендикуляра. Задание 4. Закончите предложение: Из двух наклонных, исходящих из одной точки, не лежащей на данной плоскости, больше та, у которой... Решение: Существует теорема: из двух наклонных, проведенных из одной точки к плоскости, та больше, у которой проекция больше. Ответ: проекция больше. Задание 5. Дано: \( AE = 13 \) (наклонная) Проекция \( = 5 \) Найти: расстояние от точки \( A \) до плоскости (перпендикуляр \( h \)). Решение: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный перпендикуляром, наклонной и её проекцией. По теореме Пифагора: \[ h^2 + 5^2 = 13^2 \] \[ h^2 + 25 = 169 \] \[ h^2 = 169 - 25 \] \[ h^2 = 144 \] \[ h = \sqrt{144} = 12 \] Ответ: г) 12. Задание 6. Дано: \( AF \perp \alpha \), \( AM = AK \). Неверно, что... Решение: 1) \( AF \) — перпендикуляр, \( FM \) и \( FK \) — наклонные. Так как \( AM = AK \) (проекции равны), то и наклонные равны: \( FM = FK \). 2) В прямоугольном треугольнике \( AFM \) гипотенуза \( FM \) всегда больше катета \( AF \), значит \( FM > AF \) — верно. 3) Так как \( FM = FK \), утверждение \( FK > FM \) является ложным. 4) В треугольнике \( FAK \) гипотенуза \( FK \) больше катета \( AK \), значит \( AK < FK \) — верно. Ответ: б) \( FK > FM \).