Решение контрольной работы по математике (Вариант 7)

Экзаменационная контрольная работа по математике (Вариант 7) Задание 1. Вычислить: \( 8^{\frac{2}{3}} - 0,15 \) Решение: \[ 8^{\frac{2}{3}} = (2^3)^{\frac{2}{3}} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}} = 2^2 = 4 \] \[ 4 - 0,15 = 3,85 \] Ответ: 3,85 Задание 2. Решение: Пусть \( x \) — общее число выпускников. Составим пропорцию: 27 чел. — 30% \( x \) чел. — 100% \[ x = \frac{27 \cdot 100}{30} = \frac{270}{3} = 90 \] Ответ: 90 выпускников. Задание 3. Упростить выражение: \( \sqrt[3]{\frac{a^9}{8}} \) Решение: \[ \sqrt[3]{\frac{a^9}{8}} = \frac{\sqrt[3]{a^9}}{\sqrt[3]{8}} = \frac{a^{\frac{9}{3}}}{2} = \frac{a^3}{2} = 0,5a^3 \] Ответ: \( 0,5a^3 \) Задание 4. Найти значение выражения: \( 4 - (\frac{1}{6})^{\log_{\frac{1}{6}} 5} \) Решение: По основному логарифмическому тождеству \( a^{\log_a b} = b \): \[ (\frac{1}{6})^{\log_{\frac{1}{6}} 5} = 5 \] \[ 4 - 5 = -1 \] Ответ: -1 Задание 5. Решить уравнение: \( 2x^2 + 3x - 2 = 0 \) Решение: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25 \] \[ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3 + 5}{4} = \frac{2}{4} = 0,5 \] \[ x_2 = \frac{-3 - 5}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \] Ответ: -2; 0,5 Задание 6. Найти корень уравнения: \( \log_2(x+1) = \log_2 32 - \log_2 8 \) Решение: \[ \log_2(x+1) = \log_2 \frac{32}{8} \] \[ \log_2(x+1) = \log_2 4 \] \[ x + 1 = 4 \] \[ x = 3 \] Ответ: 3 Задание 7. Вычислить: \( \log_2 28 - \log_2 7 \) (в тексте опечатка, вероятно имелось в виду 7, так как \( \log_2 4 = 2 \)) Если по тексту \( \log_2 28 - \log_2 4 \): \[ \log_2 \frac{28}{4} = \log_2 7 \] Ответ: \( \log_2 7 \) Задание 8. Решение: 1) Новая цена проезда: \( 20 - (20 \cdot 0,1) = 20 - 2 = 18 \) руб. 2) Количество поездок: \( 150 : 18 = 8,33... \) Наибольшее целое число поездок — 8. Ответ: 8 поездок. Задание 9. Начертить график функции \( y = \log_2 x \) Для построения составим таблицу: x | 0,5 | 1 | 2 | 4 y | -1 | 0 | 1 | 2 (В тетради нужно нарисовать координатную плоскость и провести плавную кривую через эти точки в правой полуплоскости). Задание 10. Определение: Логарифмом положительного числа \( b \) по основанию \( a \) (\( a > 0, a \neq 1 \)) называется показатель степени, в которую нужно возвести \( a \), чтобы получить \( b \). Основное логарифмическое тождество: \( a^{\log_a b} = b \) Задание 11. Определение: Синусом угла \( \alpha \) называется ордината (y) точки на единичной окружности, полученной поворотом точки (1;0) на угол \( \alpha \). Косинусом — абсцисса (x) этой точки. Задание 12. Найти \( \sin \alpha \), если \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{3}}{3} \) и \( \frac{3\pi}{2} \leq \alpha \leq 2\pi \) Решение: Угол в 4-й четверти, там синус отрицательный. \[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha = 1 - (\frac{\sqrt{3}}{3})^2 = 1 - \frac{3}{9} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \] \[ \sin \alpha = -\sqrt{\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{6}}{3} \] Ответ: \( -\frac{\sqrt{6}}{3} \) Задание 13. Решить уравнение: \( 9^x + 3 \cdot 3^x - 4 = 0 \) Решение: Пусть \( 3^x = t \), где \( t > 0 \). \[ t^2 + 3t - 4 = 0 \] По теореме Виета: \( t_1 = 1, t_2 = -4 \) (не подходит, так как \( t > 0 \)). Обратная замена: \[ 3^x = 1 \Rightarrow 3^x = 3^0 \Rightarrow x = 0 \] Ответ: 0 Задание 14. Вычислить: \( \log_2 16 + 10^{\lg 3} \) Решение: \[ \log_2 16 = 4 \] \[ 10^{\lg 3} = 3 \] \[ 4 + 3 = 7 \] Ответ: 7 Задание 15. Упростить: \( \frac{1 - \sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha - 1} - 1 \) Решение: Используем \( 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha \) и \( \cos^2 \alpha - 1 = -\sin^2 \alpha \): \[ \frac{\cos^2 \alpha}{-\sin^2 \alpha} - 1 = -\text{ctg}^2 \alpha - 1 = -(\text{ctg}^2 \alpha + 1) = -\frac{1}{\sin^2 \alpha} \] Ответ: \( -\frac{1}{\sin^2 \alpha} \)