Решение задач из контрольной работы

Экзаменационная контрольная работа по математике. Вариант 5. 1. Вычислить: \( 0,36 + 27^{\frac{4}{3}} \) Решение: \[ 27^{\frac{4}{3}} = (\sqrt[3]{27})^4 = 3^4 = 81 \] \[ 0,36 + 81 = 81,36 \] Ответ: 81,36. 2. Задача про таксиста. Дано: Весь путь — 6000 км Расход — 9 л на 100 км Цена — 20 руб/л Найти: Общую стоимость. Решение: 1) Находим количество литров бензина: \[ (6000 : 100) \cdot 9 = 60 \cdot 9 = 540 \text{ литров} \] 2) Находим стоимость: \[ 540 \cdot 20 = 10800 \text{ рублей} \] Ответ: 10800 рублей. 3. Упростить выражение: \( \sqrt[5]{\frac{32}{b^{10}}} \) Решение: \[ \sqrt[5]{\frac{32}{b^{10}}} = \frac{\sqrt[5]{32}}{\sqrt[5]{b^{10}}} = \frac{2}{b^{10/5}} = \frac{2}{b^2} \] Ответ: \( \frac{2}{b^2} \). 4. Найдите значение выражения: \( 5 + (\frac{1}{2})^{\log_{\frac{1}{2}} 3} \) Решение: По основному логарифмическому тождеству \( a^{\log_a b} = b \): \[ 5 + 3 = 8 \] Ответ: 8. 5. Упростить: \( \text{ctg} \alpha \cdot (\frac{1 + \sin^2 \alpha}{\cos \alpha} - \cos \alpha) \) Решение: 1) Приведем к общему знаменателю в скобках: \[ \frac{1 + \sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha}{\cos \alpha} \] 2) Так как \( 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha \), получаем: \[ \frac{\sin^2 \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos \alpha} = \frac{2\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} \] 3) Умножаем на котангенс: \[ \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} \cdot \frac{2\sin^2 \alpha}{\cos \alpha} = 2\sin \alpha \] Ответ: \( 2\sin \alpha \). 6. Решить уравнение: \( 10x^2 + 5x = 0 \) Решение: Вынесем общий множитель за скобки: \[ 5x(2x + 1) = 0 \] \[ 5x = 0 \text{ или } 2x + 1 = 0 \] \[ x_1 = 0; x_2 = -0,5 \] Ответ: 0; -0,5. 7. Вычислить: \( 2^{-2} - (-3)^3 \) Решение: \[ \frac{1}{2^2} - (-27) = \frac{1}{4} + 27 = 0,25 + 27 = 27,25 \] Ответ: 27,25. 8. Задача про ананасы. Дано: Цена — 85 руб. Скидка — 20% Сумма — 500 руб. Решение: 1) Новая цена: \( 85 \cdot 0,8 = 68 \text{ руб.} \) 2) Количество: \( 500 : 68 \approx 7,35 \) Максимальное целое число — 7. Ответ: 7 ананасов. 9. Доказать тождество: \( \sin 2\alpha - \text{tg} \alpha = \cos 2\alpha \cdot \text{tg} \alpha \) Доказательство: Разложим левую часть: \[ 2\sin \alpha \cos \alpha - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{2\sin \alpha \cos^2 \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\sin \alpha (2\cos^2 \alpha - 1)}{\cos \alpha} \] Так как \( 2\cos^2 \alpha - 1 = \cos 2\alpha \), получаем: \[ \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \cdot \cos 2\alpha = \text{tg} \alpha \cdot \cos 2\alpha \] Тождество доказано. 10. Знаки косинуса и синуса по четвертям: Синус (\( \sin \alpha \)): I(+), II(+), III(-), IV(-) Косинус (\( \cos \alpha \)): I(+), II(-), III(-), IV(+) 11. Решить уравнение: \( \log_2(x^2 - 2x) = 3 \) Решение: По определению логарифма: \[ x^2 - 2x = 2^3 \] \[ x^2 - 2x - 8 = 0 \] По теореме Виета: \[ x_1 = 4, x_2 = -2 \] Проверка: оба корня подходят под условие \( x^2 - 2x > 0 \). Ответ: -2; 4. 12. Найти значение: \( \sqrt{3} \cdot \sqrt[3]{8} - 2 \cdot 3^{\frac{1}{2}} \) Решение: \[ \sqrt{3} \cdot 2 - 2 \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 0 \] Ответ: 0. 13. Задача про книгу. Дано: Цена — 140 руб. Скидка — 5% Решение: 1) Сумма скидки: \( 140 \cdot 0,05 = 7 \text{ руб.} \) 2) Цена со скидкой: \( 140 - 7 = 133 \text{ руб.} \) Ответ: 133 рубля. 14. Найти значение: \( 24\sqrt{2} \cos(-\frac{\pi}{3}) \sin(-\frac{\pi}{4}) \) Решение: \[ \cos(-\frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} \] \[ \sin(-\frac{\pi}{4}) = -\sin(\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \] \[ 24\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 12\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -6 \cdot 2 = -12 \] Ответ: -12. 15. Решить уравнение: \( 3^{2x} + 5 \cdot 3^x - 6 = 0 \) Решение: Пусть \( 3^x = t \), где \( t > 0 \). \[ t^2 + 5t - 6 = 0 \] Корни через дискриминант или Виета: \( t_1 = 1, t_2 = -6 \). Так как \( t > 0 \), подходит только \( t = 1 \). Обратная замена: \[ 3^x = 1 \Rightarrow 3^x = 3^0 \Rightarrow x = 0 \] Ответ: 0.