Решение: Самостоятельная работа по геометрии 9 класс (Вписанные и описанные четырехугольники)

Ниже представлено решение задач из самостоятельной работы по геометрии для 9 класса (Вариант 2). Оформление выполнено так, чтобы было удобно переписать в тетрадь. Вписанные и описанные четырехугольники. Вариант 2. Задача 1. Дано: ABCD — вписанный четырехугольник, \( \angle B = 105^\circ \). Найти: \( \angle D \). Решение: По свойству вписанного четырехугольника, сумма его противоположных углов равна \( 180^\circ \). Следовательно: \[ \angle B + \angle D = 180^\circ \] \[ \angle D = 180^\circ - \angle B \] \[ \angle D = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \] Ответ: в) \( 75^\circ \). Задача 2. Дано: ABCD — описанный четырехугольник, \( AB = 16 \) см, \( BC = 12 \) см, \( CD = 14 \) см. Найти: AD. Решение: По свойству описанного четырехугольника, суммы длин его противоположных сторон равны: \[ AB + CD = BC + AD \] Подставим известные значения: \[ 16 + 14 = 12 + AD \] \[ 30 = 12 + AD \] \[ AD = 30 - 12 = 18 \text{ (см)} \] Ответ: 18 см. Задача 3. Дано: ABCD — прямоугольник, вписанный в окружность, \( S_{ABCD} = 48 \text{ см}^2 \), \( AB = 6 \) см. Найти: R (радиус окружности). Решение: 1. Найдем вторую сторону прямоугольника: \[ S = AB \cdot BC \Rightarrow 48 = 6 \cdot BC \Rightarrow BC = 8 \text{ (см)} \] 2. Диагональ прямоугольника AC является диаметром описанной окружности. По теореме Пифагора из треугольника ABC: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] \[ AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \] \[ AC = \sqrt{100} = 10 \text{ (см)} \] 3. Радиус равен половине диаметра: \[ R = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ (см)} \] Ответ: 5 см. Задача 4. Дано: ромб, \( d_1 = 6 \) см, \( d_2 = 8 \) см. Найти: r (радиус вписанной окружности). Решение: 1. Найдем сторону ромба \( a \). Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. По теореме Пифагора: \[ a = \sqrt{(\frac{d_1}{2})^2 + (\frac{d_2}{2})^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5 \text{ (см)} \] 2. Площадь ромба: \[ S = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ см}^2 \] 3. Также площадь ромба \( S = a \cdot h \), где \( h \) — высота. Высота ромба равна диаметру вписанной окружности (\( h = 2r \)). \[ 24 = 5 \cdot h \Rightarrow h = \frac{24}{5} = 4,8 \text{ (см)} \] 4. Радиус: \[ r = \frac{h}{2} = \frac{4,8}{2} = 2,4 \text{ (см)} \] Ответ: 2,4 см. Задача 5. Дано: равнобедренная трапеция, \( a = 16 \) см, \( b = 9 \) см, вписана окружность. Найти: r. Решение: 1. В описанном четырехугольнике сумма оснований равна сумме боковых сторон. Так как трапеция равнобедренная (\( c \) — боковая сторона): \[ a + b = 2c \Rightarrow 16 + 9 = 2c \Rightarrow 25 = 2c \Rightarrow c = 12,5 \text{ (см)} \] 2. Высоту трапеции \( h \) найдем из прямоугольного треугольника. Отрезок на большем основании равен: \[ x = \frac{a - b}{2} = \frac{16 - 9}{2} = 3,5 \text{ (см)} \] 3. По теореме Пифагора: \[ h = \sqrt{c^2 - x^2} = \sqrt{12,5^2 - 3,5^2} = \sqrt{(12,5 - 3,5)(12,5 + 3,5)} = \sqrt{9 \cdot 16} = 3 \cdot 4 = 12 \text{ (см)} \] 4. Радиус вписанной окружности равен половине высоты трапеции: \[ r = \frac{h}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ (см)} \] Ответ: 6 см.