Решение показательных уравнений

Хорошо, давайте решим эти показательные уравнения. Самостоятельная работа «Решение показательных уравнений» 1. Решим уравнение: \(2^{7-2x} = \left(\frac{1}{2}\right)^{x-4}\) Решение: Перепишем правую часть уравнения, используя свойство \(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\): \[2^{7-2x} = (2^{-1})^{x-4}\] \[2^{7-2x} = 2^{-(x-4)}\] \[2^{7-2x} = 2^{-x+4}\] Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: \[7-2x = -x+4\] Перенесем \(x\) в одну сторону, а числа в другую: \[7-4 = -x+2x\] \[3 = x\] Ответ: \(x=3\) 2. Решим уравнение: \(\left(\frac{2}{9}\right)^{2x+3} = 4,5^{x-2}\) Решение: Перепишем 4,5 в виде обыкновенной дроби: \(4,5 = \frac{45}{10} = \frac{9}{2}\). Тогда уравнение примет вид: \[\left(\frac{2}{9}\right)^{2x+3} = \left(\frac{9}{2}\right)^{x-2}\] Заметим, что \(\frac{9}{2} = \left(\frac{2}{9}\right)^{-1}\). Подставим это в уравнение: \[\left(\frac{2}{9}\right)^{2x+3} = \left(\left(\frac{2}{9}\right)^{-1}\right)^{x-2}\] \[\left(\frac{2}{9}\right)^{2x+3} = \left(\frac{2}{9}\right)^{-(x-2)}\] \[\left(\frac{2}{9}\right)^{2x+3} = \left(\frac{2}{9}\right)^{-x+2}\] Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: \[2x+3 = -x+2\] Перенесем \(x\) в одну сторону, а числа в другую: \[2x+x = 2-3\] \[3x = -1\] \[x = -\frac{1}{3}\] Ответ: \(x = -\frac{1}{3}\) 3. Решим уравнение: \(2^{x+2} + 2^x = 5\) Решение: Используем свойство \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\): \[2^x \cdot 2^2 + 2^x = 5\] \[4 \cdot 2^x + 2^x = 5\] Вынесем \(2^x\) за скобки: \[2^x (4+1) = 5\] \[2^x \cdot 5 = 5\] Разделим обе части на 5: \[2^x = 1\] Так как \(a^0 = 1\), то \(2^x = 2^0\). \[x = 0\] Ответ: \(x=0\) 4. Решим уравнение: \(3^{x+2} + 3^x = 30\) Решение: Используем свойство \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\): \[3^x \cdot 3^2 + 3^x = 30\] \[9 \cdot 3^x + 3^x = 30\] Вынесем \(3^x\) за скобки: \[3^x (9+1) = 30\] \[3^x \cdot 10 = 30\] Разделим обе части на 10: \[3^x = 3\] Так как \(3 = 3^1\), то \(3^x = 3^1\). \[x = 1\] Ответ: \(x=1\) 5. Решим уравнение: \(9^x - 6 \cdot 3^x = 27\) Решение: Заметим, что \(9^x = (3^2)^x = (3^x)^2\). Пусть \(y = 3^x\). Тогда уравнение примет вид: \[y^2 - 6y = 27\] Перенесем 27 в левую часть: \[y^2 - 6y - 27 = 0\] Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27) = 36 + 108 = 144\] \[\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12\] Найдем корни \(y_1\) и \(y_2\): \[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 + 12}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9\] \[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 - 12}{2 \cdot 1} = \frac{-6}{2} = -3\] Теперь вернемся к замене \(y = 3^x\). Случай 1: \(3^x = 9\) \[3^x = 3^2\] \[x = 2\] Случай 2: \(3^x = -3\) Показательная функция \(3^x\) всегда положительна, поэтому \(3^x = -3\) не имеет решений. Ответ: \(x=2\) 6. Решим уравнение: \(4^x - 14 \cdot 2^x = 32\) Решение: Заметим, что \(4^x = (2^2)^x = (2^x)^2\). Пусть \(y = 2^x\). Тогда уравнение примет вид: \[y^2 - 14y = 32\] Перенесем 32 в левую часть: \[y^2 - 14y - 32 = 0\] Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 196 + 128 = 324\] \[\sqrt{D} = \sqrt{324} = 18\] Найдем корни \(y_1\) и \(y_2\): \[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 + 18}{2 \cdot 1} = \frac{32}{2} = 16\] \[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 - 18}{2 \cdot 1} = \frac{-4}{2} = -2\] Теперь вернемся к замене \(y = 2^x\). Случай 1: \(2^x = 16\) \[2^x = 2^4\] \[x = 4\] Случай 2: \(2^x = -2\) Показательная функция \(2^x\) всегда положительна, поэтому \(2^x = -2\) не имеет решений. Ответ: \(x=4\) 7. Решим уравнение: \(3^{x+1} - 4 \cdot 3^{x-2} = 69\) Решение: Используем свойства \(a^{m+n} = a^m \cdot a^n\) и \(a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}\): \[3^x \cdot 3^1 - 4 \cdot \frac{3^x}{3^2} = 69\] \[3 \cdot 3^x - 4 \cdot \frac{3^x}{9} = 69\] \[3 \cdot 3^x - \frac{4}{9} \cdot 3^x = 69\] Вынесем \(3^x\) за скобки: \[3^x \left(3 - \frac{4}{9}\right) = 69\] Приведем дроби в скобках к общему знаменателю: \[3^x \left(\frac{27}{9} - \frac{4}{9}\right) = 69\] \[3^x \left(\frac{23}{9}\right) = 69\] Разделим обе части на \(\frac{23}{9}\) (или умножим на \(\frac{9}{23}\)): \[3^x = 69 \cdot \frac{9}{23}\] Заметим, что \(69 = 3 \cdot 23\): \[3^x = 3 \cdot 23 \cdot \frac{9}{23}\] \[3^x = 3 \cdot 9\] \[3^x = 27\] \[3^x = 3^3\] \[x = 3\] Ответ: \(x=3\) 8. Решим уравнение: \(\left(\frac{1}{3}\right)^x + 3^{x+3} = 12\) Решение: Перепишем \(\left(\frac{1}{3}\right)^x\) как \(3^{-x}\) и \(3^{x+3}\) как \(3^x \cdot 3^3\): \[3^{-x} + 3^x \cdot 3^3 = 12\] \[\frac{1}{3^x} + 27 \cdot 3^x = 12\] Пусть \(y = 3^x\). Так как \(3^x > 0\), то \(y > 0\). \[\frac{1}{y} + 27y = 12\] Умножим все члены уравнения на \(y\) (так как \(y \neq 0\)): \[1 + 27y^2 = 12y\] Перенесем все члены в одну сторону и упорядочим: \[27y^2 - 12y + 1 = 0\] Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 27 \cdot 1 = 144 - 108 = 36\] \[\sqrt{D} = \sqrt{36} = 6\] Найдем корни \(y_1\) и \(y_2\): \[y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 6}{2 \cdot 27} = \frac{18}{54} = \frac{1}{3}\] \[y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 6}{2 \cdot 27} = \frac{6}{54} = \frac{1}{9}\] Теперь вернемся к замене \(y = 3^x\). Случай 1: \(3^x = \frac{1}{3}\) \[3^x = 3^{-1}\] \[x = -1\] Случай 2: \(3^x = \frac{1}{9}\) \[3^x = 3^{-2}\] \[x = -2\] Ответ: \(x_1 = -1\), \(x_2 = -2\) 9. Решим уравнение: \(27^{|x^2-2|} = 81\) Решение: Представим основания степеней как степени числа 3: \(27 = 3^3\) и \(81 = 3^4\). Тогда уравнение примет вид: \[(3^3)^{|x^2-2|} = 3^4\] \[3^{3|x^2-2|} = 3^4\] Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: \[3|x^2-2| = 4\] Разделим обе части на 3: \[|x^2-2| = \frac{4}{3}\] Это уравнение с модулем распадается на два случая: Случай 1: \(x^2-2 = \frac{4}{3}\) \[x^2 = 2 + \frac{4}{3}\] \[x^2 = \frac{6}{3} + \frac{4}{3}\] \[x^2 = \frac{10}{3}\] \[x = \pm\sqrt{\frac{10}{3}}\] \[x = \pm\frac{\sqrt{30}}{3}\] Случай 2: \(x^2-2 = -\frac{4}{3}\) \[x^2 = 2 - \frac{4}{3}\] \[x^2 = \frac{6}{3} - \frac{4}{3}\] \[x^2 = \frac{2}{3}\] \[x = \pm\sqrt{\frac{2}{3}}\] \[x = \pm\frac{\sqrt{6}}{3}\] Ответ: \(x_1 = \frac{\sqrt{30}}{3}\), \(x_2 = -\frac{\sqrt{30}}{3}\), \(x_3 = \frac{\sqrt{6}}{3}\), \(x_4 = -\frac{\sqrt{6}}{3}\) 10. Решим уравнение: \(8^{|x^2-1|} = 16\) Решение: Представим основания степеней как степени числа 2: \(8 = 2^3\) и \(16 = 2^4\). Тогда уравнение примет вид: \[(2^3)^{|x^2-1|} = 2^4\] \[2^{3|x^2-1|} = 2^4\] Так как основания равны, приравниваем показатели степеней: \[3|x^2-1| = 4\] Разделим обе части на 3: \[|x^2-1| = \frac{4}{3}\] Это уравнение с модулем распадается на два случая: Случай 1: \(x^2-1 = \frac{4}{3}\) \[x^2 = 1 + \frac{4}{3}\] \[x^2 = \frac{3}{3} + \frac{4}{3}\] \[x^2 = \frac{7}{3}\] \[x = \pm\sqrt{\frac{7}{3}}\] \[x = \pm\frac{\sqrt{21}}{3}\] Случай 2: \(x^2-1 = -\frac{4}{3}\) \[x^2 = 1 - \frac{4}{3}\] \[x^2 = \frac{3}{3} - \frac{4}{3}\] \[x^2 = -\frac{1}{3}\] Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным. Ответ: \(x_1 = \frac{\sqrt{21}}{3}\), \(x_2 = -\frac{\sqrt{21}}{3}\)