Решение задачи: Перестановки, сочетания (Вариант 2)

Вот решения всех задач, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь. Самостоятельная работа по теме: «Перестановки, сочетания» Вариант 2 1. Сколькими способами можно рассадить 5 человек за столом? Решение: Рассадить 5 человек за столом — это задача на перестановки. Если места за столом различимы, то это \(P_n = n!\). Если стол круглый и места не различимы (важен только порядок относительно друг друга), то это \((n-1)!\). В школьных задачах, если не указано иное, обычно подразумевается, что места различимы или что это линейная перестановка. Однако, для круглого стола чаще всего используется формула \((n-1)!\). Будем считать, что стол круглый. Число способов рассадить 5 человек за круглым столом: \[(5-1)! = 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\] Ответ: 24 способами. 2. Посчитать факториал: а) 4! \[4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 24\] б) 11! \[11! = 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 39\,916\,800\] в) \(\frac{12!}{4!}\) \[\frac{12!}{4!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} = 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 19\,958\,400\] г) \(\frac{8!}{2! \cdot 5!}\) \[\frac{8!}{2! \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5!}{2 \cdot 1 \cdot 5!} = \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{2} = 4 \cdot 7 \cdot 6 = 168\] 3. В ящике находится 14 деталей. Сколькими способами можно взять 3 детали? Решение: Порядок, в котором берутся детали, не имеет значения. Это задача на сочетания. Используем формулу для сочетаний: \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) Здесь \(n = 14\) (общее количество деталей), \(k = 3\) (количество деталей, которые нужно взять). \[C_{14}^3 = \frac{14!}{3!(14-3)!} = \frac{14!}{3!11!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 11!} = \frac{14 \cdot 13 \cdot 12}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 14 \cdot 13 \cdot 2 = 364\] Ответ: 364 способами. 4. Сколько различных четырехзначных чисел можно записать, используя цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6 (без повторения)? Решение: Мы выбираем 4 цифры из 6 и располагаем их в определенном порядке. Это задача на размещения без повторений. Используем формулу для размещений: \(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\) Здесь \(n = 6\) (количество доступных цифр), \(k = 4\) (количество цифр в числе). \[A_6^4 = \frac{6!}{(6-4)!} = \frac{6!}{2!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{2!} = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 = 360\] Ответ: 360 различных четырехзначных чисел. 5. Сколькими способами из 25 человек можно выбрать троих дежурных? Решение: Порядок выбора дежурных не имеет значения (неважно, кто выбран первым, вторым или третьим, все они просто дежурные). Это задача на сочетания. Используем формулу для сочетаний: \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) Здесь \(n = 25\) (общее количество человек), \(k = 3\) (количество дежурных). \[C_{25}^3 = \frac{25!}{3!(25-3)!} = \frac{25!}{3!22!} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23 \cdot 22!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 22!} = \frac{25 \cdot 24 \cdot 23}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 25 \cdot 4 \cdot 23 = 100 \cdot 23 = 2300\] Ответ: 2300 способами. 6. Сколькими способами из 12 членов правления кооператива можно выбрать председателя, казначея и секретаря? Решение: Порядок выбора имеет значение, так как должности (председатель, казначей, секретарь) различны. Это задача на размещения без повторений. Используем формулу для размещений: \(A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\) Здесь \(n = 12\) (общее количество членов правления), \(k = 3\) (количество должностей). \[A_{12}^3 = \frac{12!}{(12-3)!} = \frac{12!}{9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9!}{9!} = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320\] Ответ: 1320 способами. 7. Сколькими способами из 15 человек можно выбрать 12 для участия в соревновании? Решение: Порядок выбора участников не имеет значения. Это задача на сочетания. Используем формулу для сочетаний: \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) Здесь \(n = 15\) (общее количество человек), \(k = 12\) (количество участников). Можно использовать свойство сочетаний: \(C_n^k = C_n^{n-k}\). Тогда \(C_{15}^{12} = C_{15}^{15-12} = C_{15}^3\). \[C_{15}^{12} = C_{15}^3 = \frac{15!}{3!(15-3)!} = \frac{15!}{3!12!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 12!} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 5 \cdot 7 \cdot 13 = 35 \cdot 13 = 455\] Ответ: 455 способами. 8. Имеется набор из 5 ручек разных цветов. Сколькими способами можно выбрать 3 ручки для обводки чертежа, если среди них обязательно должен быть красный цвет? Решение: Всего 5 ручек, одна из них красная. Нужно выбрать 3 ручки, при этом красная ручка должна быть обязательно. Это означает, что одна ручка из трех уже выбрана (красная). Осталось выбрать 2 ручки из оставшихся \(5 - 1 = 4\) ручек (все, кроме красной). Порядок выбора ручек не имеет значения. Это задача на сочетания. Используем формулу для сочетаний: \(C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\) Здесь \(n = 4\) (количество оставшихся ручек), \(k = 2\) (количество ручек, которые нужно довыбрать). \[C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(2 \cdot 1)(2 \cdot 1)} = \frac{24}{4} = 6\] Ответ: 6 способами.