Решение систем уравнений методом сложения (кроме первых задач)

Ниже представлено решение систем уравнений из трех блоков (кроме первых номеров), оформленное для удобного переписывания в тетрадь. БЛОК 1 (Метод сложения) 2. \[ \begin{cases} 2x^2 + y = 4 \\ 4x^2 - y = 2 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 6x^2 = 6 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1 \] Подставим \( x^2 = 1 \) в первое уравнение: \[ 2(1) + y = 4 \implies y = 2 \] Ответ: \( (1; 2), (-1; 2) \) 3. \[ \begin{cases} 3x^2 + y = 6 \\ 4x^2 - y = 1 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 7x^2 = 7 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1 \] Подставим \( x^2 = 1 \) в первое уравнение: \[ 3(1) + y = 6 \implies y = 3 \] Ответ: \( (1; 3), (-1; 3) \) 4. \[ \begin{cases} x^2 + y = 5 \\ 6x^2 - y = 2 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 7x^2 = 7 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1 \] Подставим \( x^2 = 1 \) в первое уравнение: \[ 1 + y = 5 \implies y = 4 \] Ответ: \( (1; 4), (-1; 4) \) 5. \[ \begin{cases} 4x^2 + y = 9 \\ 8x^2 - y = 3 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 12x^2 = 12 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1 \] Подставим \( x^2 = 1 \) в первое уравнение: \[ 4(1) + y = 9 \implies y = 5 \] Ответ: \( (1; 5), (-1; 5) \) 6. \[ \begin{cases} x^2 + y = 7 \\ 2x^2 - y = 5 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 3x^2 = 12 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = 2, x_2 = -2 \] Подставим \( x^2 = 4 \) в первое уравнение: \[ 4 + y = 7 \implies y = 3 \] Ответ: \( (2; 3), (-2; 3) \) 7. \[ \begin{cases} 3x^2 + y = 9 \\ 7x^2 - y = 1 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 10x^2 = 10 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1 \] Подставим \( x^2 = 1 \) в первое уравнение: \[ 3(1) + y = 9 \implies y = 6 \] Ответ: \( (1; 6), (-1; 6) \) 8. \[ \begin{cases} 5x^2 + y = 12 \\ 9x^2 - y = 2 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 14x^2 = 14 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1 \] Подставим \( x^2 = 1 \) в первое уравнение: \[ 5(1) + y = 12 \implies y = 7 \] Ответ: \( (1; 7), (-1; 7) \) 9. \[ \begin{cases} 6x^2 + y = 14 \\ 12x^2 - y = 4 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 18x^2 = 18 \implies x^2 = 1 \implies x_1 = 1, x_2 = -1 \] Подставим \( x^2 = 1 \) в первое уравнение: \[ 6(1) + y = 14 \implies y = 8 \] Ответ: \( (1; 8), (-1; 8) \) 10. \[ \begin{cases} 2x^2 + y = 9 \\ 3x^2 - y = 11 \end{cases} \] Сложим уравнения: \[ 5x^2 = 20 \implies x^2 = 4 \implies x_1 = 2, x_2 = -2 \] Подставим \( x^2 = 4 \) в первое уравнение: \[ 2(4) + y = 9 \implies 8 + y = 9 \implies y = 1 \] Ответ: \( (2; 1), (-2; 1) \) БЛОК 2 (Метод приравнивания) 2. \[ \begin{cases} 3x^2 - 4x = y \\ 3x - 4 = y \end{cases} \] Приравняем левые части: \[ 3x^2 - 4x = 3x - 4 \implies 3x^2 - 7x + 4 = 0 \] \[ D = 49 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 49 - 48 = 1 \] \[ x_1 = \frac{7+1}{6} = \frac{4}{3}; \quad x_2 = \frac{7-1}{6} = 1 \] Найдем y: \[ y_1 = 3(\frac{4}{3}) - 4 = 0; \quad y_2 = 3(1) - 4 = -1 \] Ответ: \( (1\frac{1}{3}; 0), (1; -1) \) 3. \[ \begin{cases} 2x^2 - 5x = y \\ 2x - 5 = y \end{cases} \] \[ 2x^2 - 5x = 2x - 5 \implies 2x^2 - 7x + 5 = 0 \] \[ D = 49 - 40 = 9 \] \[ x_1 = \frac{7+3}{4} = 2.5; \quad x_2 = \frac{7-3}{4} = 1 \] \[ y_1 = 2(2.5) - 5 = 0; \quad y_2 = 2(1) - 5 = -3 \] Ответ: \( (2.5; 0), (1; -3) \) 4. \[ \begin{cases} 2x^2 - 1x = y \\ 2x - 1 = y \end{cases} \] \[ 2x^2 - x = 2x - 1 \implies 2x^2 - 3x + 1 = 0 \] \[ D = 9 - 8 = 1 \] \[ x_1 = \frac{3+1}{4} = 1; \quad x_2 = \frac{3-1}{4} = 0.5 \] \[ y_1 = 2(1) - 1 = 1; \quad y_2 = 2(0.5) - 1 = 0 \] Ответ: \( (1; 1), (0.5; 0) \) 5. \[ \begin{cases} 4x^2 - 3x = y \\ 8x - 6 = y \end{cases} \] \[ 4x^2 - 3x = 8x - 6 \implies 4x^2 - 11x + 6 = 0 \] \[ D = 121 - 96 = 25 \] \[ x_1 = \frac{11+5}{8} = 2; \quad x_2 = \frac{11-5}{8} = 0.75 \] \[ y_1 = 8(2) - 6 = 10; \quad y_2 = 8(0.75) - 6 = 0 \] Ответ: \( (2; 10), (0.75; 0) \) 6. \[ \begin{cases} 4x^2 - 5x = y \\ 8x - 10 = y \end{cases} \] \[ 4x^2 - 5x = 8x - 10 \implies 4x^2 - 13x + 10 = 0 \] \[ D = 169 - 160 = 9 \] \[ x_1 = \frac{13+3}{8} = 2; \quad x_2 = \frac{13-3}{8} = 1.25 \] \[ y_1 = 8(2) - 10 = 6; \quad y_2 = 8(1.25) - 10 = 0 \] Ответ: \( (2; 6), (1.25; 0) \) 7. \[ \begin{cases} 5x^2 - 9x = y \\ 5x - 9 = y \end{cases} \] \[ 5x^2 - 9x = 5x - 9 \implies 5x^2 - 14x + 9 = 0 \] \[ D = 196 - 180 = 16 \] \[ x_1 = \frac{14+4}{10} = 1.8; \quad x_2 = \frac{14-4}{10} = 1 \] \[ y_1 = 5(1.8) - 9 = 0; \quad y_2 = 5(1) - 9 = -4 \] Ответ: \( (1.8; 0), (1; -4) \) 8. \[ \begin{cases} 5x^2 - 11x = y \\ 5x - 11 = y \end{cases} \] \[ 5x^2 - 11x = 5x - 11 \implies 5x^2 - 16x + 11 = 0 \] \[ D = 256 - 220 = 36 \] \[ x_1 = \frac{16+6}{10} = 2.2; \quad x_2 = \frac{16-6}{10} = 1 \] \[ y_1 = 5(2.2) - 11 = 0; \quad y_2 = 5(1) - 11 = -6 \] Ответ: \( (2.2; 0), (1; -6) \) 9. \[ \begin{cases} 7x^2 - 5x = y \\ 7x - 5 = y \end{cases} \] \[ 7x^2 - 5x = 7x - 5 \implies 7x^2 - 12x + 5 = 0 \] \[ D = 144 - 140 = 4 \] \[ x_1 = \frac{12+2}{14} = 1; \quad x_2 = \frac{12-2}{14} = \frac{5}{7} \] \[ y_1 = 7(1) - 5 = 2; \quad y_2 = 7(\frac{5}{7}) - 5 = 0 \] Ответ: \( (1; 2), (\frac{5}{7}; 0) \) 10. \[ \begin{cases} 9x^2 - 14x = y \\ 9x - 14 = y \end{cases} \] \[ 9x^2 - 14x = 9x - 14 \implies 9x^2 - 23x + 14 = 0 \] \[ D = 529 - 504 = 25 \] \[ x_1 = \frac{23+5}{18} = \frac{28}{18} = \frac{14}{9}; \quad x_2 = \frac{23-5}{18} = 1 \] \[ y_1 = 9(\frac{14}{9}) - 14 = 0; \quad y_2 = 9(1) - 14 = -5 \] Ответ: \( (1\frac{5}{9}; 0), (1; -5) \) БЛОК 3 (Метод деления/подстановки) Во всех задачах этого блока второе уравнение является следствием первого, умноженного на коэффициент, но с переменной \( x \) в правой части. 2. \[ \begin{cases} 2x^2 + 4y^2 = 24 \\ 4x^2 + 8y^2 = 24x \end{cases} \] Заметим, что \( 4x^2 + 8y^2 = 2(2x^2 + 4y^2) \). Подставим значение из первого уравнения: \[ 2(24) = 24x \implies 48 = 24x \implies x = 2 \] Подставим \( x = 2 \) в первое уравнение: \[ 2(2^2) + 4y^2 = 24 \implies 8 + 4y^2 = 24 \implies 4y^2 = 16 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2 \] Ответ: \( (2; 2), (2; -2) \) 3. \[ \begin{cases} x^2 + 3y^2 = 31 \\ 2x^2 + 6y^2 = 31x \end{cases} \] \[ 2(31) = 31x \implies x = 2 \] \[ 2^2 + 3y^2 = 31 \implies 4 + 3y^2 = 31 \implies 3y^2 = 27 \implies y^2 = 9 \implies y = \pm 3 \] Ответ: \( (2; 3), (2; -3) \) 4. \[ \begin{cases} 5x^2 + y^2 = 36 \\ 10x^2 + 2y^2 = 36x \end{cases} \] \[ 2(36) = 36x \implies x = 2 \] \[ 5(2^2) + y^2 = 36 \implies 20 + y^2 = 36 \implies y^2 = 16 \implies y = \pm 4 \] Ответ: \( (2; 4), (2; -4) \) 5. \[ \begin{cases} 2x^2 + 3y^2 = 21 \\ 6x^2 + 9y^2 = 21x \end{cases} \] \[ 3(21) = 21x \implies x = 3 \] \[ 2(3^2) + 3y^2 = 21 \implies 18 + 3y^2 = 21 \implies 3y^2 = 3 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1 \] Ответ: \( (3; 1), (3; -1) \) 6. \[ \begin{cases} x^2 + 4y^2 = 25 \\ 3x^2 + 12y^2 = 25x \end{cases} \] \[ 3(25) = 25x \implies x = 3 \] \[ 3^2 + 4y^2 = 25 \implies 9 + 4y^2 = 25 \implies 4y^2 = 16 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2 \] Ответ: \( (3; 2), (3; -2) \) 7. \[ \begin{cases} 3x^2 + y^2 = 45 \\ 9x^2 + 6y^2 = 45x \end{cases} \] (В условии опечатка в коэффициентах, обычно \( 9x^2 + 3y^2 \), решим как написано: \( 3(3x^2 + 2y^2) = 45x \), но в 1-м уравнении \( 3x^2 + 2y^2 = 45 \)) \[ 3(45) = 45x \implies x = 3 \] \[ 3(3^2) + 2y^2 = 45 \implies 27 + 2y^2 = 45 \implies 2y^2 = 18 \implies y^2 = 9 \implies y = \pm 3 \] Ответ: \( (3; 3), (3; -3) \) 8. \[ \begin{cases} 5x^2 + y^2 = 61 \\ 15x^2 + 3y^2 = 61x \end{cases} \] \[ 3(61) = 61x \implies x = 3 \] \[ 5(3^2) + y^2 = 61 \implies 45 + y^2 = 61 \implies y^2 = 16 \implies y = \pm 4 \] Ответ: \( (3; 4), (3; -4) \) 9. \[ \begin{cases} 3x^2 + 2y^2 = 50 \\ 12x^2 + 8y^2 = 50x \end{cases} \] \[ 4(50) = 50x \implies x = 4 \] \[ 3(4^2) + 2y^2 = 50 \implies 48 + 2y^2 = 50 \implies 2y^2 = 2 \implies y^2 = 1 \implies y = \pm 1 \] Ответ: \( (4; 1), (4; -1) \) 10. \[ \begin{cases} 2x^2 + y^2 = 36 \\ 8x^2 + 4y^2 = 36x \end{cases} \] \[ 4(36) = 36x \implies x = 4 \] \[ 2(4^2) + y^2 = 36 \implies 32 + y^2 = 36 \implies y^2 = 4 \implies y = \pm 2 \] Ответ: \( (4; 2), (4; -2) \)