Решение задачи: Производная второго порядка и интеграл

Билет 12 Задание 1. Найти производную второго порядка функции \( y = \ln(\sin 2x) \). Решение: 1) Найдем первую производную \( y' \), используя правило дифференцирования сложной функции: \[ y' = (\ln(\sin 2x))' = \frac{1}{\sin 2x} \cdot (\sin 2x)' = \frac{1}{\sin 2x} \cdot \cos 2x \cdot 2 = 2 \frac{\cos 2x}{\sin 2x} = 2 \text{ctg } 2x \] 2) Найдем вторую производную \( y'' \), дифференцируя \( y' \): \[ y'' = (2 \text{ctg } 2x)' = 2 \cdot \left( -\frac{1}{\sin^2 2x} \right) \cdot 2 = -\frac{4}{\sin^2 2x} \] Ответ: \( y'' = -\frac{4}{\sin^2 2x} \). Задание 2. Найти интегралы. а) \( \int \frac{x dx}{2 - x^2} \) Решение: Введем замену переменной \( t = 2 - x^2 \), тогда \( dt = -2x dx \), откуда \( x dx = -\frac{1}{2} dt \). \[ \int \frac{x dx}{2 - x^2} = \int \frac{-\frac{1}{2} dt}{t} = -\frac{1}{2} \ln |t| + C = -\frac{1}{2} \ln |2 - x^2| + C \] б) \( \int_{5}^{9} \sqrt{9 - x} dx \) Решение: Введем замену \( u = 9 - x \), тогда \( du = -dx \). Изменим пределы интегрирования: если \( x = 5 \), то \( u = 4 \); если \( x = 9 \), то \( u = 0 \). \[ \int_{5}^{9} \sqrt{9 - x} dx = \int_{4}^{0} \sqrt{u} (-du) = \int_{0}^{4} u^{1/2} du = \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{4} = \frac{2}{3} [u\sqrt{u}]_{0}^{4} = \frac{2}{3} (4\sqrt{4} - 0) = \frac{2}{3} \cdot 8 = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \] Задание 3. Найти частное решение дифференциального уравнения \( (1 + x^2)dy - xydx = 0 \), удовлетворяющее условию \( y(0) = 1 \). Решение: Разделим переменные: \[ (1 + x^2)dy = xydx \implies \frac{dy}{y} = \frac{x dx}{1 + x^2} \] Интегрируем обе части: \[ \int \frac{dy}{y} = \int \frac{x dx}{1 + x^2} \] \[ \ln |y| = \frac{1}{2} \ln (1 + x^2) + \ln C \] \[ \ln |y| = \ln (C \sqrt{1 + x^2}) \implies y = C \sqrt{1 + x^2} \] Используем начальное условие \( y(0) = 1 \): \[ 1 = C \sqrt{1 + 0^2} \implies C = 1 \] Частное решение: \( y = \sqrt{1 + x^2} \). Задание 4. Составить закон распределения дискретной случайной величины \( X \) — числа заданных студенту вопросов. Решение: Вероятность правильного ответа \( p = 2/3 \), неправильного \( q = 1 - 2/3 = 1/3 \). Студент прекращает отвечать, если ответил неверно или ответил верно на 3 вопроса. Возможные значения \( X \): 1, 2, 3. \( P(X=1) = q = 1/3 \) (не ответил на 1-й вопрос). \( P(X=2) = p \cdot q = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{3} = 2/9 \) (ответил на 1-й, не ответил на 2-й). \( P(X=3) = p \cdot p \cdot q + p \cdot p \cdot p = p^2 = (2/3)^2 = 4/9 \) (ответил на два и на третьем либо ошибся, либо ответил верно — в обоих случаях это 3-й вопрос). Проверка: \( 1/3 + 2/9 + 4/9 = 3/9 + 2/9 + 4/9 = 1 \). Математическое ожидание: \[ M(X) = 1 \cdot \frac{3}{9} + 2 \cdot \frac{2}{9} + 3 \cdot \frac{4}{9} = \frac{3 + 4 + 12}{9} = \frac{19}{9} \approx 2,11 \] Задание 5. Статистическая обработка данных. Выборка: 5,0; 5,2; 5,0; 4,9; 5,2; 4,9; 5,2; 5,0; 5,6; 5,0. (Всего \( n = 10 \) значений). 1) Выборочная средняя: \[ \bar{x} = \frac{5,0+5,2+5,0+4,9+5,2+4,9+5,2+5,0+5,6+5,0}{10} = \frac{51,0}{10} = 5,1 \] Выборочная дисперсия: \[ D_b = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = \frac{260,5}{10} - (5,1)^2 = 26,05 - 26,01 = 0,04 \] Среднеквадратическое отклонение: \( \sigma = \sqrt{0,04} = 0,2 \). 2) Точечная оценка дисперсии (исправленная): \[ s^2 = \frac{n}{n-1} D_b = \frac{10}{9} \cdot 0,04 \approx 0,044 \] 3) Интервальная оценка для \( \gamma = 0,99 \): Используем распределение Стьюдента. Для \( n-1 = 9 \) и \( \alpha = 0,01 \), \( t_{\gamma} \approx 3,25 \). Точность \( \epsilon = t_{\gamma} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 3,25 \cdot \frac{0,21}{\sqrt{10}} \approx 0,21 \). Доверительный интервал: \( (5,1 - 0,21; 5,1 + 0,21) = (4,89; 5,31) \).