Решение задачи: Мосты в графе

Хорошо, давайте решим все задачи по порядку. 1. Выберите верный, на Ваш взгляд, ответ и обведите кружком его номер. Мосты - это ребра. На изображении представлен граф. Мосты в графе - это рёбра, удаление которых увеличивает количество компонент связности графа. Давайте проанализируем каждое ребро: * Ребро (1,2): Если его удалить, граф останется связным. * Ребро (1,3): Если его удалить, граф останется связным. * Ребро (2,3): Если его удалить, граф останется связным. * Ребро (2,4): Если его удалить, граф останется связным. * Ребро (4,5): Если его удалить, граф останется связным. * Ребро (4,6): Если его удалить, граф останется связным. * Ребро (5,7): Если его удалить, граф останется связным. * Ребро (6,7): Если его удалить, граф останется связным. * Ребро (6,8): Если его удалить, граф останется связным. * Ребро (7,10): Если его удалить, граф останется связным. * Ребро (8,9): Если его удалить, граф останется связным. * Ребро (8,10): Если его удалить, граф останется связным. * Ребро (9,11): Если его удалить, граф останется связным. * Ребро (10,11): Если его удалить, граф останется связным. * Ребро (11,12): Если его удалить, вершина 12 станет изолированной, то есть количество компонент связности увеличится. Таким образом, мостом является ребро (11,12). Среди предложенных вариантов: a. (1,2) (5,7) (8,9) b. (4,5) (6,7) (8,10) c. (2,4) (7,10) (11,12) d. (1,3) (3,2) (9,11) Верный ответ: c. (2,4) (7,10) (11,12). (Примечание: в варианте c указаны три ребра. Из них (11,12) является мостом. Возможно, задача подразумевает выбор варианта, содержащего хотя бы один мост, или же в графе есть другие мосты, которые я неверно определил. Давайте перепроверим. Если удалить (2,4), то 2 и 4 остаются связанными через 1-3-2 и 4-5-7-6. Граф остаётся связным. Если удалить (7,10), то 7 и 10 остаются связанными через 5-4-6-8-10. Граф остаётся связным. Если удалить (11,12), то вершина 12 становится изолированной. Это мост. Таким образом, из предложенных вариантов только (11,12) является мостом. Если нужно выбрать вариант, содержащий все мосты, то это не совсем так. Если нужно выбрать вариант, содержащий хотя бы один мост, то это c. Давайте ещё раз внимательно посмотрим на граф. Вершины: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12. Рёбра: (1,2), (1,3), (2,3), (2,4), (4,5), (4,6), (5,7), (6,7), (6,8), (7,10), (8,9), (8,10), (9,11), (10,11), (11,12). Мост - это ребро, удаление которого увеличивает число компонент связности. * (1,2): не мост (1-3-2) * (1,3): не мост (1-2-3) * (2,3): не мост (2-1-3) * (2,4): не мост (2-1-3-4 или 2-3-1-4) * (4,5): не мост (4-6-7-5) * (4,6): не мост (4-5-7-6) * (5,7): не мост (5-4-6-7) * (6,7): не мост (6-4-5-7) * (6,8): не мост (6-7-10-8) * (7,10): не мост (7-5-4-6-8-10) * (8,9): не мост (8-6-7-10-11-9) * (8,10): не мост (8-6-7-10) * (9,11): не мост (9-8-10-11) * (10,11): не мост (10-7-5-4-6-8-9-11) * (11,12): **мост**. Если удалить (11,12), вершина 12 становится изолированной. Таким образом, единственным мостом в этом графе является ребро (11,12). Следовательно, вариант c, содержащий (11,12), является верным. Ответ: c. (2,4) (7,10) (11,12) (обвести кружком номер c). 2. Решите задачу. Для данного орграфа определить полустепень исхода вершины v2. Орграф (ориентированный граф) представлен на рисунке. Вершины: V1, V2, V3, V4. Рёбра: * Из V1 в X1 * Из X1 в V2 * Из V1 в X2 * Из X2 в V2 * Из V2 в X3 * Из X3 в V3 * Из V2 в X4 * Из X4 в V3 * Из V3 в X5 * Из X5 в V4 * Из V3 в X6 * Из X6 в V4 Полустепень исхода вершины (out-degree) - это количество рёбер, исходящих из данной вершины. Давайте посмотрим на вершину V2. Из V2 исходят следующие рёбра: * V2 -> X3 * V2 -> X4 Количество исходящих рёбер из V2 равно 2. Ответ: Полустепень исхода вершины V2 равна 2. 3. Выберите верный, на Ваш взгляд, ответ и обведите кружком его номер. Тезис Тьюринга. Тезис Тьюринга (или тезис Чёрча-Тьюринга) утверждает, что любой алгоритм может быть реализован на машине Тьюринга. Это фундаментальное утверждение в теории вычислимости. Давайте рассмотрим предложенные варианты: a) Множество всех рекурсивных функций совпадает с множеством всех алгоритмических функций. b) Множество всех рекурсивных функций совпадает с множеством всех вычислимых функций. c) Всякий алгоритм может быть реализован соответствующей машиной Тьюринга. d) Всякая машина Тьюринга вычисляет рекурсивную функцию. e) Для всякой рекурсивной функции может быть построена машина Тьюринга. * Вариант a) и b) по сути говорят об одном и том же, так как "алгоритмические функции" и "вычислимые функции" в контексте тезиса Тьюринга являются синонимами и обозначают функции, которые могут быть вычислены некоторым алгоритмом. Тезис Тьюринга утверждает, что класс таких функций совпадает с классом функций, вычислимых машиной Тьюринга (рекурсивных функций). * Вариант c) "Всякий алгоритм может быть реализован соответствующей машиной Тьюринга" - это прямое и наиболее точное формулирование тезиса Тьюринга. Он утверждает, что машина Тьюринга является универсальной моделью вычислений, способной выполнить любой алгоритм. * Вариант d) "Всякая машина Тьюринга вычисляет рекурсивную функцию" - это верно по определению, но это не сам тезис Тьюринга, а скорее следствие или часть определения. * Вариант e) "Для всякой рекурсивной функции может быть построена машина Тьюринга" - это также верно по определению рекурсивных функций, но это не тезис Тьюринга. Тезис Тьюринга утверждает обратное: что *любая* функция, которую мы интуитивно считаем вычислимой (то есть, для которой существует алгоритм), *является* рекурсивной (то есть, может быть вычислена машиной Тьюринга). Таким образом, наиболее точным и полным выражением тезиса Тьюринга является вариант c. Ответ: c. Всякий алгоритм может быть реализован соответствующей машиной Тьюринга (обвести кружком номер c). 4. Решите задачу. Найти матрицу смежности орграфа. Орграф (ориентированный граф) представлен на рисунке. Вершины: V1, V2, V3, V4. На рисунке также есть промежуточные узлы X1, X2, X3, X4, X5, X6. В контексте матрицы смежности обычно рассматриваются только основные вершины графа. Промежуточные узлы X1-X6, по всей видимости, являются частью рёбер или представляют собой "транзитные" точки, но не являются основными вершинами, для которых строится матрица смежности. Если бы они были вершинами, то матрица была бы 10x10. Предположим, что X1-X6 - это просто обозначения для рёбер или их частей, и нас интересуют связи между V1, V2, V3, V4. Давайте перечислим ориентированные рёбра между основными вершинами V1, V2, V3, V4: * V1 -> X1 -> V2: есть ребро из V1 в V2. * V1 -> X2 -> V2: есть ребро из V1 в V2. * V2 -> X3 -> V3: есть ребро из V2 в V3. * V2 -> X4 -> V3: есть ребро из V2 в V3. * V3 -> X5 -> V4: есть ребро из V3 в V4. * V3 -> X6 -> V4: есть ребро из V3 в V4. Матрица смежности \(A\) для орграфа с \(n\) вершинами - это матрица размера \(n \times n\), где элемент \(A_{ij}\) равен 1, если существует ребро из вершины \(i\) в вершину \(j\), и 0 в противном случае. В нашем случае \(n=4\), вершины V1, V2, V3, V4. Давайте обозначим их как 1, 2, 3, 4 для удобства. * Из V1: * В V2: есть (через X1 и X2). * В V1, V3, V4: нет прямых рёбер. * Из V2: * В V3: есть (через X3 и X4). * В V1, V2, V4: нет прямых рёбер. * Из V3: * В V4: есть (через X5 и X6). * В V1, V2, V3: нет прямых рёбер. * Из V4: * В V1, V2, V3, V4: нет прямых рёбер. Таким образом, матрица смежности будет: \[ A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & A_{13} & A_{14} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} & A_{24} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33} & A_{34} \\ A_{41} & A_{42} & A_{43} & A_{44} \end{pmatrix} \] Заполняем значения: * \(A_{12} = 1\) (из V1 в V2) * \(A_{23} = 1\) (из V2 в V3) * \(A_{34} = 1\) (из V3 в V4) * Все остальные элементы равны 0. Матрица смежности: \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] Если же X1-X6 также являются вершинами, то граф имеет 10 вершин. В этом случае матрица смежности будет 10x10. Однако, обычно в таких схемах X1-X6 обозначают "пропускные" точки на рёбрах, а не полноценные вершины, для которых нужно строить матрицу смежности. Если бы они были вершинами, то их обозначили бы как V5, V6 и т.д. или X1, X2 и т.д. наравне с V1, V2. Исходя из стандартной практики, я предполагаю, что матрица строится только для V1, V2, V3, V4. Ответ: Матрица смежности орграфа: \[ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \]