Решение задачи: Эйлеров цикл или цепь в мультиграфе

Хорошо, давайте решим эти задачи по порядку.

Задача 9.

Выберите верный, на Ваш взгляд, ответ и обведите кружком его номер.

В данном мультиграфе существует:

a. эйлерова цепь

b. эйлеров цикл

c. нет ни эйлеровой цепи, ни цикла

Для определения наличия эйлеровой цепи или цикла в мультиграфе, нужно проанализировать степени вершин.

• Эйлеров цикл существует, если все вершины имеют чётную степень.
• Эйлерова цепь существует, если ровно две вершины имеют нечётную степень, а остальные - чётную.

Давайте посчитаем степени вершин для данного мультиграфа. Вершины обозначены числами от 1 до 6 (по строкам таблицы).

Таблица смежности:

  1 2 3 4 5 6
1 0 2 0 0 0 1
2 0 1 1 0 0 0
3 0 1 0 2 0 1
4 0 0 2 0 1 0
5 0 0 0 1 0 2
6 1 0 1 0 2 0

Степени вершин:

• Степень вершины 1: \(2 + 1 = 3\) (нечётная)
• Степень вершины 2: \(2 + 1 + 1 = 4\) (чётная)
• Степень вершины 3: \(1 + 2 + 1 = 4\) (чётная)
• Степень вершины 4: \(2 + 1 = 3\) (нечётная)
• Степень вершины 5: \(1 + 2 = 3\) (нечётная)
• Степень вершины 6: \(1 + 1 + 2 = 4\) (чётная)

Мы видим, что вершины 1, 4 и 5 имеют нечётную степень (3). Так как количество вершин с нечётной степенью больше двух, то в данном мультиграфе нет ни эйлеровой цепи, ни эйлерова цикла.

Ответ: c. нет ни эйлеровой цепи, ни цикла

Задача 10.

Задана функция от трёх переменных \(f(x_1, x_2, x_3)\). По заданной функции построить таблицу истинности, совершенную дизъюнктивную нормальную форму (СДНФ) \(f(x_1, x_2, x_3)\) и совершенную конъюнктивную нормальную форму (СКНФ) \(f(x_1, x_2, x_3)\).

К сожалению, сама функция \(f(x_1, x_2, x_3)\) не приведена в задании. Без неё невозможно построить таблицу истинности, СДНФ и СКНФ. Если функция будет предоставлена, я смогу выполнить эту задачу.

Задача 11.

Изобразить на диаграмме Эйлера – Венна множество \((A \setminus B) \cap (A \setminus C)\).

Давайте разберем это выражение по частям:

1. \(A \setminus B\) (или \(A - B\)) означает элементы, которые принадлежат множеству \(A\), но не принадлежат множеству \(B\). На диаграмме Венна это часть круга \(A\), которая не пересекается с кругом \(B\).
2. \(A \setminus C\) (или \(A - C\)) означает элементы, которые принадлежат множеству \(A\), но не принадлежат множеству \(C\). На диаграмме Венна это часть круга \(A\), которая не пересекается с кругом \(C\).
3. \((A \setminus B) \cap (A \setminus C)\) означает пересечение этих двух множеств. То есть, это элементы, которые одновременно принадлежат \(A \setminus B\) и \(A \setminus C\).

На диаграмме Эйлера – Венна это будет та часть множества \(A\), которая не пересекается ни с \(B\), ни с \(C\). Это центральная часть круга \(A\), из которой исключены все области, пересекающиеся с \(B\) или \(C\).

Изображение на диаграмме Эйлера – Венна:

Представьте три пересекающихся круга: \(A\), \(B\), \(C\).

Заштрихуйте область, которая находится внутри круга \(A\), но полностью вне кругов \(B\) и \(C\). Это будет центральная часть круга \(A\), которая не имеет общих частей с \(B\) и \(C\).

Можно также записать это как \(A \cap \overline{B} \cap \overline{C}\), где \(\overline{B}\) и \(\overline{C}\) - дополнения множеств \(B\) и \(C\) соответственно.

Задача 12.

Определить область истинности предиката \(P(x) = \text{"предмет x является цветком"}\) \(x \in M\), где \(M = \{\text{роза, ваза, стол, ромашка, герань}\}\) и построить таблицу значений этого предиката.

Предикат \(P(x)\) истинен, если \(x\) является цветком. Множество \(M = \{\text{роза, ваза, стол, ромашка, герань}\}\).

Давайте проверим каждый элемент из множества \(M\):

• Роза: является цветком. Значение предиката \(P(\text{роза})\) = Истина (1).
• Ваза: не является цветком. Значение предиката \(P(\text{ваза})\) = Ложь (0).
• Стол: не является цветком. Значение предиката \(P(\text{стол})\) = Ложь (0).
• Ромашка: является цветком. Значение предиката \(P(\text{ромашка})\) = Истина (1).
• Герань: является цветком. Значение предиката \(P(\text{герань})\) = Истина (1).

Область истинности предиката \(P(x)\):

Это подмножество \(M\), для которого предикат \(P(x)\) истинен.

Область истинности = \(\{\text{роза, ромашка, герань}\}\).

Таблица значений предиката:

| x        | P(x)    |
|----------|---------|
| роза     | Истина (1) |
| ваза     | Ложь (0)   |
| стол     | Ложь (0)   |
| ромашка  | Истина (1) |
| герань   | Истина (1) |

Задача 13.

Последовательность рёбер такая, что каждые два соседних ребра имеют общую инцидентную вершину, причем начальная вершина и конечная совпадают, называется:

a. маршрутом

b. циклическим маршрутом

c. циклом

d. простым циклом

Давайте рассмотрим определения:

• Маршрут: последовательность рёбер, где каждые два соседних ребра имеют общую вершину. Вершины и рёбра могут повторяться.
• Циклический маршрут: это маршрут, у которого начальная и конечная вершины совпадают. Рёбра и вершины могут повторяться.
• Цепь: маршрут, в котором все рёбра различны.
• Цикл: это цепь, у которой начальная и конечная вершины совпадают. Все рёбра различны, все внутренние вершины различны.
• Простой цикл: это цикл, в котором все вершины (кроме начальной/конечной) различны.

В данном определении сказано: "каждые два соседних ребра имеют общую инцидентную вершину" (это свойство маршрута) и "начальная вершина и конечная совпадают" (это свойство цикличности). При этом не сказано, что рёбра или вершины должны быть различными.

Следовательно, это определение соответствует циклическому маршруту.

Ответ: b. циклическим маршрутом

Задача 14.

Найти истинное значение \(\overline{A \land B} \leftrightarrow \overline{A} \lor \overline{B}\) и убедиться, что при всех значениях \(A\) и \(B\) - это истинное значение.

Это выражение является одной из форм закона де Моргана. Давайте построим таблицу истинности для этого выражения.

Закон де Моргана гласит, что \(\overline{A \land B} \equiv \overline{A} \lor \overline{B}\). Это означает, что выражение \(\overline{A \land B} \leftrightarrow \overline{A} \lor \overline{B}\) должно быть тавтологией (всегда истинным).

Таблица истинности:

| A | B | A ∧ B | A ∧ B | A | B | A ∨ B | (A ∧ B) ↔ (A ∨ B) |
|---|---|-------|-------|---|---|-------|-----------------------|
| 0 | 0 |   0   |   1   | 1 | 1 |   1   |           1           |
| 0 | 1 |   0   |   1   | 1 | 0 |   1   |           1           |
| 1 | 0 |   0   |   1   | 0 | 1 |   1   |           1           |
| 1 | 1 |   1   |   0   | 0 | 0 |   0   |           1           |

Пояснения к таблице:

• A, B: возможные значения истинности для переменных A и B.
• \(A \land B\): конъюнкция (И) A и B. Истинна только если A и B истинны.
• \(\overline{A \land B}\): отрицание (НЕ) \(A \land B\).
• \(\overline{A}\): отрицание A.
• \(\overline{B}\): отрицание B.
• \(\overline{A} \lor \overline{B}\): дизъюнкция (ИЛИ) \(\overline{A}\) и \(\overline{B}\). Истинна, если хотя бы одно из \(\overline{A}\) или \(\overline{B}\) истинно.
• \(\overline{A \land B} \leftrightarrow \overline{A} \lor \overline{B}\): эквивалентность (тогда и только тогда) между \(\overline{A \land B}\) и \(\overline{A} \lor \overline{B}\). Истинна, если значения обеих частей совпадают.

Как видно из последнего столбца таблицы, значение выражения \(\overline{A \land B} \leftrightarrow \overline{A} \lor \overline{B}\) всегда равно 1 (Истина) для всех возможных комбинаций значений \(A\) и \(B\).

Ответ: Истинное значение выражения всегда 1 (Истина). Это является тавтологией, что подтверждает закон де Моргана.

Задача 15.

Даны множества: \(A = \{1, 5, 10, 15, 20\}\), \(B = \{3, 6, 9, 12, 15\}\).

Установите соответствие между следующими операциями над множествами \(A\) и \(B\) и необходимыми для их получения операциями.

1) разность множеств \(A\) и \(B\)

2) объединение множеств \(A\) и \(B\)

3) пересечение множеств \(A\) и \(B\)

Варианты ответов:

A) \(\{15\}\)

B) \(\{3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 20\}\)

C) \(\{5, 10, 20\}\)

Давайте выполним каждую операцию:

1) Разность множеств \(A\) и \(B\) (\(A \setminus B\)):

Это элементы, которые есть в \(A\), но нет в \(B\).

\(A = \{1, 5, 10, 15, 20\}\)

\(B = \{3, 6, 9, 12, 15\}\)

Элемент 1 есть в \(A\), нет в \(B\).

Элемент 5 есть в \(A\), нет в \(B\).

Элемент 10 есть в \(A\), нет в \(B\).

Элемент 15 есть в \(A\) и в \(B\), поэтому не включаем.

Элемент 20 есть в \(A\), нет в \(B\).

\(A \setminus B = \{1, 5, 10, 20\}\).

Среди предложенных вариантов нет точного совпадения. Возможно, в задании опечатка или подразумевается \(A \setminus B\) или \(B \setminus A\).

Если бы это было \(A \setminus B\), то ответ был бы \(\{1, 5, 10, 20\}\).

Если бы это было \(B \setminus A\), то \(B \setminus A = \{3, 6, 9, 12\}\).

Давайте перепроверим варианты ответов. Вариант C) \(\{5, 10, 20\}\) очень похож на часть \(A \setminus B\), но отсутствует 1. Возможно, это ошибка в задании или в вариантах ответа.

Предположим, что в варианте C) пропущена 1, или же это не \(A \setminus B\), а что-то другое.

2) Объединение множеств \(A\) и \(B\) (\(A \cup B\)):

Это все элементы, которые есть хотя бы в одном из множеств \(A\) или \(B\).

\(A = \{1, 5, 10, 15, 20\}\)

\(B = \{3, 6, 9, 12, 15\}\)

\(A \cup B = \{1, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 20\}\).

Сравниваем с вариантами:

B) \(\{3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 20\}\). Этот вариант очень похож, но отсутствует 1. Опять же, возможно, опечатка в задании или вариантах.

Если бы в B) была 1, то это было бы \(A \cup B\).

3) Пересечение множеств \(A\) и \(B\) (\(A \cap B\)):

Это элементы, которые есть и в \(A\), и в \(B\).

\(A = \{1, 5, 10, 15, 20\}\)

\(B = \{3, 6, 9, 12, 15\}\)

Единственный общий элемент - 15.

\(A \cap B = \{15\}\).

Сравниваем с вариантами:

A) \(\{15\}\). Это точно соответствует пересечению.

Таким образом, мы можем установить следующее соответствие:

• 3) пересечение множеств \(A\) и \(B\) соответствует A) \(\{15\}\).

Теперь вернемся к пунктам 1 и 2, учитывая, что один из вариантов уже использован.

Для 1) разность множеств \(A\) и \(B\) (\(A \setminus B\)): \(\{1, 5, 10, 20\}\).

Для 2) объединение множеств \(A\) и \(B\) (\(A \cup B\)): \(\{1, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 20\}\).

Если предположить, что в вариантах B) и C) есть опечатки, и они должны соответствовать операциям:

• Вариант C) \(\{5, 10, 20\}\) - это почти \(A \setminus B\), но без 1.
• Вариант B) \(\{3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 20\}\) - это почти \(A \cup B\), но без 1.

Возможно, в задании есть ошибка в исходных данных или в вариантах ответов. Однако, если мы должны выбрать наиболее подходящие варианты, то:

• 3) Пересечение \(A \cap B\) = \(\{15\}\) (точно соответствует A).

Если мы вынуждены сопоставить оставшиеся, то:

• 1) Разность \(A \setminus B\) = \(\{1, 5, 10, 20\}\). Ближайший вариант C) \(\{5, 10, 20\}\). Если предположить, что 1 была исключена по какой-то причине или это опечатка.
• 2) Объединение \(A \cup B\) = \(\{1, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 20\}\). Ближайший вариант B) \(\{3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 20\}\). Если предположить, что 1 была исключена по какой-то причине или это опечатка.

Окончательный ответ, исходя из точного совпадения:

• 3) Пересечение множеств \(A\) и \(B\) соответствует A) \(\{15\}\).

Если бы задание требовало полного соответствия, то для 1) и 2) нет точных ответов среди предложенных. Если же нужно выбрать "наиболее подходящие", то это будет зависеть от того, какие ошибки допустимы.

Предположим, что в вариантах B и C просто пропущена цифра 1, и они должны были быть полными.

• 1) Разность множеств \(A\) и \(B\) (\(A \setminus B\)) = \(\{1, 5, 10, 20\}\). Если бы в C) было \(\{1, 5, 10, 20\}\), то 1) соответствовало бы C).
• 2) Объединение множеств \(A\) и \(B\) (\(A \cup B\)) = \(\{1, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 20\}\). Если бы в B) было \(\{1, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 20\}\), то 2) соответствовало бы B).

Принимая во внимание возможные опечатки в вариантах B и C, наиболее логичное соответствие:

• 1) Разность множеств \(A\) и \(B\) \(\rightarrow\) C) \(\{5, 10, 20\}\) (с пропущенной 1)
• 2) Объединение множеств \(A\) и \(B\) \(\rightarrow\) B) \(\{3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 20\}\) (с пропущенной 1)
• 3) Пересечение множеств \(A\) и \(B\) \(\rightarrow\) A) \(\{15\}\)

Задача 16.

Установите соответствие между следующими операциями над множествами \(A\) и \(B\) и необходимыми для их получения операциями.

Эта задача является повторением задачи 15. Ответы и рассуждения будут такими же.

Ответы:

• 1) Разность множеств \(A\) и \(B\) \(\rightarrow\) C) \(\{5, 10, 20\}\) (предполагая пропущенную 1)
• 2) Объединение множеств \(A\) и \(B\) \(\rightarrow\) B) \(\{3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 20\}\) (предполагая пропущенную 1)
• 3) Пересечение множеств \(A\) и \(B\) \(\rightarrow\) A) \(\{15\}\)