Самостоятельная работа №28 по теме ЗАКОН ДЖОУЛЯ – ЛЕНЦА. ВАРИАНТ «2»
Задача 1. В кипятильнике емкостью 5 л с КПД 70 % вода нагревается от 10 до 100° С за 20 мин. Какой силы ток проходит по обмотке нагревателя, если напряжение равно 220 В?
Решение:
Дано:
- Объем воды \(V = 5\) л \( = 0,005\) м\(^3\)
- КПД \(\eta = 70 \% = 0,7\)
- Начальная температура воды \(T_1 = 10^\circ\) С
- Конечная температура воды \(T_2 = 100^\circ\) С
- Время нагрева \(t = 20\) мин \( = 1200\) с
- Напряжение \(U = 220\) В
Найти: Силу тока \(I\).
Сначала найдем массу воды. Плотность воды \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\).
\[m = \rho \cdot V = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 0,005 \text{ м}^3 = 5 \text{ кг}\]Количество теплоты, необходимое для нагрева воды, рассчитывается по формуле:
\[Q_{полезная} = c \cdot m \cdot (T_2 - T_1)\]где \(c\) – удельная теплоемкость воды, \(c = 4200\) Дж/(кг \(\cdot\) °С).
\[Q_{полезная} = 4200 \text{ Дж/(кг} \cdot \text{°С)} \cdot 5 \text{ кг} \cdot (100^\circ \text{С} - 10^\circ \text{С}) = 4200 \cdot 5 \cdot 90 = 1890000 \text{ Дж}\]КПД кипятильника определяется как отношение полезной теплоты к затраченной электрической энергии:
\[\eta = \frac{Q_{полезная}}{W_{электрическая}}\]Отсюда затраченная электрическая энергия:
\[W_{электрическая} = \frac{Q_{полезная}}{\eta} = \frac{1890000 \text{ Дж}}{0,7} = 2700000 \text{ Дж}\]Электрическая энергия также выражается через напряжение, силу тока и время:
\[W_{электрическая} = U \cdot I \cdot t\]Отсюда сила тока:
\[I = \frac{W_{электрическая}}{U \cdot t} = \frac{2700000 \text{ Дж}}{220 \text{ В} \cdot 1200 \text{ с}} = \frac{2700000}{264000} \approx 10,23 \text{ А}\]Ответ: Сила тока, проходящая по обмотке нагревателя, составляет примерно 10,23 А.
Задача 2. Сколько времени будут нагреваться 1,5 л воды от 20° С до 100° С в электрическом чайнике мощностью 600 Вт, если КПД его 80 %?
Решение:
Дано:
- Объем воды \(V = 1,5\) л \( = 0,0015\) м\(^3\)
- Начальная температура воды \(T_1 = 20^\circ\) С
- Конечная температура воды \(T_2 = 100^\circ\) С
- Мощность чайника \(P = 600\) Вт
- КПД \(\eta = 80 \% = 0,8\)
Найти: Время нагрева \(t\).
Масса воды:
\[m = \rho \cdot V = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 0,0015 \text{ м}^3 = 1,5 \text{ кг}\]Количество теплоты, необходимое для нагрева воды:
\[Q_{полезная} = c \cdot m \cdot (T_2 - T_1)\]где \(c = 4200\) Дж/(кг \(\cdot\) °С).
\[Q_{полезная} = 4200 \text{ Дж/(кг} \cdot \text{°С)} \cdot 1,5 \text{ кг} \cdot (100^\circ \text{С} - 20^\circ \text{С}) = 4200 \cdot 1,5 \cdot 80 = 504000 \text{ Дж}\]КПД чайника:
\[\eta = \frac{Q_{полезная}}{W_{электрическая}}\]Затраченная электрическая энергия:
\[W_{электрическая} = \frac{Q_{полезная}}{\eta} = \frac{504000 \text{ Дж}}{0,8} = 630000 \text{ Дж}\]Электрическая энергия также выражается через мощность и время:
\[W_{электрическая} = P \cdot t\]Отсюда время нагрева:
\[t = \frac{W_{электрическая}}{P} = \frac{630000 \text{ Дж}}{600 \text{ Вт}} = 1050 \text{ с}\]Переведем секунды в минуты:
\[t = \frac{1050}{60} = 17,5 \text{ мин}\]Ответ: Вода будет нагреваться 17,5 минут.
Задача 3. Определите, на какое напряжение рассчитан электрокипятильник, который за 5 мин нагревает 0,2 кг воды от 14° С до кипения, при условии, что по его обмотке протекает ток силой 2 А. Потерями энергии пренебречь.
Решение:
Дано:
- Время нагрева \(t = 5\) мин \( = 300\) с
- Масса воды \(m = 0,2\) кг
- Начальная температура воды \(T_1 = 14^\circ\) С
- Конечная температура воды \(T_2 = 100^\circ\) С (температура кипения)
- Сила тока \(I = 2\) А
Найти: Напряжение \(U\).
Поскольку потерями энергии пренебрегаем, вся электрическая энергия идет на нагрев воды. То есть \(W_{электрическая} = Q_{полезная}\).
Количество теплоты, необходимое для нагрева воды:
\[Q_{полезная} = c \cdot m \cdot (T_2 - T_1)\]где \(c = 4200\) Дж/(кг \(\cdot\) °С).
\[Q_{полезная} = 4200 \text{ Дж/(кг} \cdot \text{°С)} \cdot 0,2 \text{ кг} \cdot (100^\circ \text{С} - 14^\circ \text{С}) = 4200 \cdot 0,2 \cdot 86 = 72240 \text{ Дж}\]Электрическая энергия выражается через напряжение, силу тока и время:
\[W_{электрическая} = U \cdot I \cdot t\]Приравниваем \(Q_{полезная}\) и \(W_{электрическая}\):
\[U \cdot I \cdot t = Q_{полезная}\]Отсюда напряжение:
\[U = \frac{Q_{полезная}}{I \cdot t} = \frac{72240 \text{ Дж}}{2 \text{ А} \cdot 300 \text{ с}} = \frac{72240}{600} = 120,4 \text{ В}\]Ответ: Электрокипятильник рассчитан на напряжение 120,4 В.
Задача 4. Элемент с внутренним сопротивлением 4 Ом и ЭДС 12 В замкнут проводником с сопротивлением 8 Ом. Какое количество теплоты будет выделяться во внешней части цепи за 1 с?
Решение:
Дано:
- Внутреннее сопротивление элемента \(r = 4\) Ом
- ЭДС \(\mathcal{E} = 12\) В
- Сопротивление внешней цепи \(R = 8\) Ом
- Время \(t = 1\) с
Найти: Количество теплоты \(Q\), выделяющееся во внешней части цепи.
Сначала найдем силу тока в цепи по закону Ома для полной цепи:
\[I = \frac{\mathcal{E}}{R + r}\] \[I = \frac{12 \text{ В}}{8 \text{ Ом} + 4 \text{ Ом}} = \frac{12 \text{ В}}{12 \text{ Ом}} = 1 \text{ А}\]Количество теплоты, выделяющееся во внешней части цепи, рассчитывается по закону Джоуля-Ленца:
\[Q = I^2 \cdot R \cdot t\] \[Q = (1 \text{ А})^2 \cdot 8 \text{ Ом} \cdot 1 \text{ с} = 1 \cdot 8 \cdot 1 = 8 \text{ Дж}\]Ответ: Во внешней части цепи за 1 с выделится 8 Дж теплоты.
Задача 5. В электрическом паяльнике при напряжении 220 В протекает ток 0,22 А. Сколько олова, взятого при температуре 293 К, можно расплавить за 1 мин?
Решение:
Дано:
- Напряжение \(U = 220\) В
- Сила тока \(I = 0,22\) А
- Время \(t = 1\) мин \( = 60\) с
- Начальная температура олова \(T_{нач} = 293\) К
Найти: Массу олова \(m\).
Сначала найдем количество теплоты, выделяемое паяльником за 1 минуту:
\[Q_{выделенное} = U \cdot I \cdot t\] \[Q_{выделенное} = 220 \text{ В} \cdot 0,22 \text{ А} \cdot 60 \text{ с} = 2904 \text{ Дж}\]Для плавления олова необходимо сначала нагреть его до температуры плавления, а затем расплавить. Температура плавления олова \(T_{пл} = 232^\circ\) С \( = 232 + 273 = 505\) К. Удельная теплоемкость олова \(c_{олова} = 230\) Дж/(кг \(\cdot\) К). Удельная теплота плавления олова \(\lambda_{олова} = 59 \cdot 10^3\) Дж/кг.
Количество теплоты, необходимое для нагрева олова до температуры плавления:
\[Q_{нагрев} = m \cdot c_{олова} \cdot (T_{пл} - T_{нач})\] \[Q_{нагрев} = m \cdot 230 \text{ Дж/(кг} \cdot \text{К)} \cdot (505 \text{ К} - 293 \text{ К}) = m \cdot 230 \cdot 212 = m \cdot 48760 \text{ Дж/кг}\]Количество теплоты, необходимое для плавления олова:
\[Q_{плавление} = m \cdot \lambda_{олова}\] \[Q_{плавление} = m \cdot 59000 \text{ Дж/кг}\]Общее количество теплоты, необходимое для нагрева и плавления олова:
\[Q_{общее} = Q_{нагрев} + Q_{плавление}\] \[Q_{общее} = m \cdot 48760 + m \cdot 59000 = m \cdot (48760 + 59000) = m \cdot 107760 \text{ Дж/кг}\]Приравниваем выделенное тепло к необходимому для плавления:
\[Q_{выделенное} = Q_{общее}\] \[2904 \text{ Дж} = m \cdot 107760 \text{ Дж/кг}\]Отсюда масса олова:
\[m = \frac{2904 \text{ Дж}}{107760 \text{ Дж/кг}} \approx 0,02695 \text{ кг} \approx 27 \text{ г}\]Ответ: За 1 минуту можно расплавить примерно 27 г олова.
Задача 6. Воздух, находящийся в закрытом сосуде вместимостью 1 л при нормальных условиях, нагревается электрическим нагревателем, рассчитанным на ток 0,2 А и напряжение 10 В. Через сколько времени давление в сосуде повысится до 1 МПа? КПД нагревателя 50 %.
Решение:
Дано:
- Объем сосуда \(V = 1\) л \( = 0,001\) м\(^3\)
- Начальные условия: нормальные. Это означает:
- Начальное давление \(P_1 = 101325\) Па (или 1 атм)
- Начальная температура \(T_1 = 273,15\) К (или 0° С)
- Сила тока \(I = 0,2\) А
- Напряжение \(U = 10\) В
- Конечное давление \(P_2 = 1\) МПа \( = 10^6\) Па
- КПД нагревателя \(\eta = 50 \% = 0,5\)
Найти: Время \(t\).
Поскольку сосуд закрытый, объем воздуха остается постоянным. Мы можем использовать закон Шарля (или изохорный процесс):
\[\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}\]Отсюда найдем конечную температуру \(T_2\):
\[T_2 = T_1 \cdot \frac{P_2}{P_1} = 273,15 \text{ К} \cdot \frac{10^6 \text{ Па}}{101325 \text{ Па}} \approx 273,15 \cdot 9,869 \approx 2695,5 \text{ К}\]Теперь найдем массу воздуха в сосуде. Используем уравнение Менделеева-Клапейрона для начальных условий:
\[P_1 V = \frac{m}{M} R T_1\]где \(M\) – молярная масса воздуха (примерно 0,029 кг/моль), \(R\) – универсальная газовая постоянная (8,314 Дж/(моль \(\cdot\) К)).
\[m = \frac{P_1 V M}{R T_1} = \frac{101325 \text{ Па} \cdot 0,001 \text{ м}^3 \cdot 0,029 \text{ кг/моль}}{8,314 \text{ Дж/(моль} \cdot \text{К)} \cdot 273,15 \text{ К}} \approx \frac{2,938425}{2271,1} \approx 0,00129 \text{ кг}\]Количество теплоты, необходимое для нагрева воздуха при постоянном объеме:
\[Q_{полезная} = m \cdot c_v \cdot (T_2 - T_1)\]где \(c_v\) – удельная теплоемкость воздуха при постоянном объеме. Для воздуха \(c_v \approx 718\) Дж/(кг \(\cdot\) К).
\[Q_{полезная} = 0,00129 \text{ кг} \cdot 718 \text{ Дж/(кг} \cdot \text{К)} \cdot (2695,5 \text{ К} - 273,15 \text{ К})\] \[Q_{полезная} = 0,00129 \cdot 718 \cdot 2422,35 \approx 2247,5 \text{ Дж}\]Электрическая энергия, выделяемая нагревателем:
\[W_{электрическая} = U \cdot I \cdot t\] \[W_{электрическая} = 10 \text{ В} \cdot 0,2 \text{ А} \cdot t = 2 \cdot t \text{ Дж}\]Учитываем КПД нагревателя:
\[\eta = \frac{Q_{полезная}}{W_{электрическая}}\] \[0,5 = \frac{2247,5 \text{ Дж}}{2 \cdot t \text{ Дж}}\] \[2 \cdot t = \frac{2247,5}{0,5} = 4495\] \[t = \frac{4495}{2} = 2247,5 \text{ с}\]Переведем секунды в минуты:
\[t = \frac{2247,5}{60} \approx 37,46 \text{ мин}\]Ответ: Давление в сосуде повысится до 1 МПа примерно через 37,46 минут.