Решение задачи: Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Задача 1 Дано: \( \alpha = 30^\circ \) \( v_0 = 10 \) м/с \( \beta = 60^\circ \) \( g = 10 \) м/с\(^2\) Найти: \( t \), \( L \), \( H \). Решение: 1. Горизонтальная составляющая скорости остается неизменной: \[ v_x = v_0 \cos \alpha = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \text{ м/с} \] В момент падения: \[ v_x = v \cos \beta \Rightarrow v = \frac{v_x}{\cos \beta} = \frac{5\sqrt{3}}{0,5} = 10\sqrt{3} \text{ м/с} \] Вертикальная составляющая скорости в момент падения (направлена вниз): \[ v_y = v \sin \beta = 10\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15 \text{ м/с} \] Начальная вертикальная скорость: \[ v_{0y} = v_0 \sin \alpha = 10 \cdot 0,5 = 5 \text{ м/с} \] Время полета найдем из уравнения \( v_y = v_{0y} - gt \) (с учетом направления осей): \[ -15 = 5 - 10t \Rightarrow 10t = 20 \Rightarrow t = 2 \text{ с} \] 2. Дальность полета по горизонтали: \[ L = v_x t = 5\sqrt{3} \cdot 2 = 10\sqrt{3} \approx 17,3 \text{ м} \] 3. Высота обрыва \( H \): \[ y = H + v_{0y}t - \frac{gt^2}{2} \] В момент падения \( y = 0 \): \[ 0 = H + 5 \cdot 2 - \frac{10 \cdot 2^2}{2} \Rightarrow 0 = H + 10 - 20 \Rightarrow H = 10 \text{ м} \] Ответ: 1) 2 с; 2) 17,3 м; 3) 10 м. Задача 2 Дано: \( L \), \( t \), \( s \). Решение: 1. Минимальное время переправы достигается, когда вектор скорости катера относительно воды \( v_k \) перпендикулярен берегу. Тогда: \[ L = v_k t \Rightarrow v_k = \frac{L}{t} \] За это время течение сносит катер на расстояние \( s \): \[ s = v_r t \Rightarrow v_r = \frac{s}{t} \] Скорость течения реки: \( v_r = \frac{s}{t} \). 2. Скорость катера относительно воды: \( v_k = \frac{L}{t} \). 3. Скорость катера относительно берега \( v_b \) по теореме Пифагора: \[ v_b = \sqrt{v_k^2 + v_r^2} = \sqrt{\left(\frac{L}{t}\right)^2 + \left(\frac{s}{t}\right)^2} = \frac{\sqrt{L^2 + s^2}}{t} \] Направление: под углом \( \phi \) к берегу, где \( \tan \phi = \frac{v_k}{v_r} = \frac{L}{s} \). Ответ: 1) \( s/t \); 2) \( L/t \); 3) \( \frac{\sqrt{L^2 + s^2}}{t} \), под углом \( \arctan(L/s) \) к берегу. Задача 3 Дано: \( m = 1 \) кг \( M = 2 \) кг \( g = 10 \) м/с\(^2\) Решение: Запишем уравнения второго закона Ньютона для каждого груза в проекции на вертикальную ось (учитывая, что \( M > m \), система движется в сторону тяжелого груза): \[ Mg - T = Ma \] \[ T - mg = ma \] Сложим уравнения: \[ Mg - mg = (M + m)a \Rightarrow a = \frac{g(M - m)}{M + m} \] \[ a = \frac{10(2 - 1)}{2 + 1} = \frac{10}{3} \approx 3,33 \text{ м/с}^2 \] Найдем силу натяжения \( T \): \[ T = m(g + a) = 1 \cdot (10 + 3,33) = 13,33 \text{ Н} \] Ответ: 1) 3,33 м/с\(^2\); 2) 13,33 Н. Задача 4 Дано: \( M = 0,8 \) кг \( m = 0,4 \) кг \( \mu = 0,2 \) \( g = 10 \) м/с\(^2\) Решение: В состоянии равновесия пружина растянута силой тяжести нижнего бруска: \( F_{пр} = mg \). После отпускания груза \( M \): 1. Для нижнего бруска \( m \): на него действуют \( mg \) вниз и \( F_{пр} = mg \) вверх. Силы скомпенсированы, \( a_3 = 0 \). 2. Для системы груза \( M \) и верхнего бруска \( m \): На груз \( M \) действует сила натяжения \( T \) и сила трения \( F_{тр} = \mu Mg \). На верхний брусок \( m \) действует \( mg \) вниз, \( F_{пр} = mg \) вниз и \( T \) вверх. Уравнения: \[ T - \mu Mg = Ma \] \[ 2mg - T = ma \] Сложим: \[ 2mg - \mu Mg = (M + m)a \Rightarrow a = \frac{g(2m - \mu M)}{M + m} \] \[ a = \frac{10(2 \cdot 0,4 - 0,2 \cdot 0,8)}{0,8 + 0,4} = \frac{10(0,8 - 0,16)}{1,2} = \frac{6,4}{1,2} \approx 5,33 \text{ м/с}^2 \] Ускорение груза \( M \) и верхнего бруска \( m \) одинаково. Ответ: \( a_M = 5,33 \) м/с\(^2\), \( a_{m1} = 5,33 \) м/с\(^2\), \( a_{m2} = 0 \). Задача 5 Дано: \( m = 5000 \) кг \( h = 300 \) км \( = 3 \cdot 10^5 \) м \( R_z = 6400 \) км \( = 6,4 \cdot 10^6 \) м \( M_z = 6 \cdot 10^{24} \) кг \( G = 6,7 \cdot 10^{-11} \) Н·м\(^2\)/кг\(^2\) Решение: Радиус орбиты: \( R = R_z + h = 6,7 \cdot 10^6 \) м. 1. Орбитальная скорость: \[ v = \sqrt{\frac{GM_z}{R}} = \sqrt{\frac{6,7 \cdot 10^{-11} \cdot 6 \cdot 10^{24}}{6,7 \cdot 10^6}} = \sqrt{6 \cdot 10^7} \approx 7746 \text{ м/с} \approx 7,75 \text{ км/с} \] 2. Период обращения: \[ T = \frac{2\pi R}{v} = \frac{2 \cdot 3,14 \cdot 6,7 \cdot 10^6}{7746} \approx 5432 \text{ с} \approx 90,5 \text{ мин} \] Ответ: 1) 7,75 км/с; 2) 90,5 мин.