Задача 6 (из первого изображения):
Вступительный экзамен в лицей состоит из трех туров. Вероятность отсева в 1 туре составляет 60%, во втором - 40%, в третьем - 30%. Какова вероятность поступления в лицей?
Решение:
Для того чтобы поступить в лицей, нужно успешно пройти все три тура. Это означает, что нужно не отсеяться в первом туре, не отсеяться во втором туре и не отсеяться в третьем туре.
1. Вероятность не отсеяться в 1 туре:
Если вероятность отсева 60%, то вероятность не отсеяться (пройти тур) равна \(100\% - 60\% = 40\%\). В десятичных дробях это \(0,4\).
2. Вероятность не отсеяться во 2 туре:
Если вероятность отсева 40%, то вероятность не отсеяться равна \(100\% - 40\% = 60\%\). В десятичных дробях это \(0,6\).
3. Вероятность не отсеяться в 3 туре:
Если вероятность отсева 30%, то вероятность не отсеяться равна \(100\% - 30\% = 70\%\). В десятичных дробях это \(0,7\).
Поскольку эти события независимы (прохождение одного тура не влияет на вероятность прохождения другого), общая вероятность поступления в лицей равна произведению вероятностей прохождения каждого тура:
\[P(\text{поступления}) = P(\text{пройти 1 тур}) \times P(\text{пройти 2 тур}) \times P(\text{пройти 3 тур})\] \[P(\text{поступления}) = 0,4 \times 0,6 \times 0,7\] \[P(\text{поступления}) = 0,24 \times 0,7\] \[P(\text{поступления}) = 0,168\]Среди предложенных вариантов ответа нет 0,168. Давайте перепроверим условия и варианты. Возможно, в задаче или вариантах есть опечатка, или я неправильно интерпретировал "отсев". Если "отсев" означает, что человек выбывает, то "поступление" означает, что он проходит все туры. Мой расчет верен для такой интерпретации.
Давайте посмотрим на варианты ответов, которые даны в задаче:
1) 0,24
2) 0,12
3) 0,18
4) 0,072
Ни один из них не совпадает с 0,168. Возможно, задача подразумевает что-то другое, или я ошибся в расчетах. Давайте пересчитаем внимательно.
\(0,4 \times 0,6 = 0,24\)
\(0,24 \times 0,7 = 0,168\)
Расчет верен. Если бы вопрос был "Какова вероятность отсева в первом туре И во втором И в третьем", то это было бы \(0,6 \times 0,4 \times 0,3 = 0,072\), что является вариантом 4. Но вопрос "Какова вероятность поступления в лицей?" подразумевает успешное прохождение всех туров.
Если предположить, что в задаче есть ошибка и один из вариантов является правильным, то наиболее близкий к 0,168 вариант отсутствует. Однако, если бы вопрос был "Какова вероятность отсева в первом туре И во втором И в третьем", то ответ был бы 0,072. Это не соответствует вопросу о поступлении.
Давайте еще раз подумаем. Может быть, "вероятность отсева" - это вероятность того, что человек не пройдет именно этот тур, независимо от предыдущих. И для поступления нужно пройти все. Тогда мой расчет верен.
Если бы вопрос был "Какова вероятность того, что человек отсеется в первом туре ИЛИ во втором ИЛИ в третьем", это было бы сложнее. Но вопрос о поступлении.
Возможно, в задаче подразумевается, что вероятность отсева в 1 туре 60%, а из оставшихся 40% отсеивается 40% во втором туре, и из оставшихся отсеивается 30% в третьем. Это стандартная интерпретация.
Вероятность пройти 1 тур: \(1 - 0,6 = 0,4\)
Вероятность пройти 2 тур: \(1 - 0,4 = 0,6\)
Вероятность пройти 3 тур: \(1 - 0,3 = 0,7\)
Вероятность пройти все три тура: \(0,4 \times 0,6 \times 0,7 = 0,168\)
Так как 0,168 нет среди вариантов, давайте проверим, может быть, я неправильно прочитал проценты или варианты. 60%, 40%, 30%. Варианты: 0,24; 0,12; 0,18; 0,072.
Если бы вероятность поступления была \(0,6 \times 0,4 = 0,24\), это означало бы, что только первые два тура важны, или что вероятность прохождения третьего тура 100%.
Если бы вероятность поступления была \(0,4 \times 0,3 = 0,12\), это означало бы, что первый и третий туры важны, а второй нет.
Если бы вероятность поступления была \(0,6 \times 0,3 = 0,18\), это означало бы, что второй и третий туры важны, а первый нет.
Если бы вероятность поступления была \(0,6 \times 0,4 \times 0,3 = 0,072\), это была бы вероятность отсева во всех трех турах, а не поступления.
Предположим, что в задаче есть опечатка и вопрос был "Какова вероятность того, что человек отсеется в первом туре, а затем во втором, а затем в третьем?" (то есть, отсеется в каждом из них). Тогда ответ был бы \(0,6 \times 0,4 \times 0,3 = 0,072\). Но это не "поступление".
Возможно, вопрос подразумевает, что вероятность отсева в 1 туре 60%, а вероятность поступления в лицей - это вероятность пройти 1 тур, 2 тур и 3 тур. Вероятность пройти 1 тур = \(1 - 0,6 = 0,4\). Вероятность пройти 2 тур = \(1 - 0,4 = 0,6\). Вероятность пройти 3 тур = \(1 - 0,3 = 0,7\). Вероятность поступления = \(0,4 \times 0,6 \times 0,7 = 0,168\).
Так как 0,168 нет в вариантах, и 0,072 является произведением вероятностей отсева, я склоняюсь к тому, что в задаче либо ошибка в вариантах, либо в формулировке. Однако, если нужно выбрать из предложенных, и 0,072 - это произведение вероятностей отсева, то это не ответ на вопрос о поступлении.
Давайте рассмотрим другой вариант интерпретации. Что если "вероятность отсева" - это вероятность того, что человек не пройдет *именно этот* тур, и эти вероятности даны для тех, кто дошел до этого тура. Тогда мой расчет верен.
Если бы вопрос был "Какова вероятность того, что человек отсеется в первом туре ИЛИ во втором ИЛИ в третьем", то это было бы \(1 - P(\text{поступления}) = 1 - 0,168 = 0,832\).
Я буду придерживаться наиболее логичной интерпретации: для поступления нужно пройти все туры. Вероятность пройти 1 тур: \(P_1 = 1 - 0,6 = 0,4\). Вероятность пройти 2 тур: \(P_2 = 1 - 0,4 = 0,6\). Вероятность пройти 3 тур: \(P_3 = 1 - 0,3 = 0,7\). Вероятность поступления: \(P = P_1 \times P_2 \times P_3 = 0,4 \times 0,6 \times 0,7 = 0,168\).
Так как 0,168 отсутствует в вариантах, я не могу дать точный ответ из предложенных. Если бы это был тест, я бы указал на ошибку в задаче. Если нужно выбрать наиболее подходящий, то это сложно, так как 0,168 не близок ни к одному из них настолько, чтобы считать это округлением.
Однако, если предположить, что вопрос был сформулирован неточно, и на самом деле спрашивается о вероятности отсева во всех трех турах, то ответ 0,072. Но это противоречит слову "поступления".
Я предоставлю решение, исходя из того, что вопрос о поступлении, и укажу, что ответа нет среди вариантов.
Ответ: \(0,168\). Среди предложенных вариантов ответа нет.
Если бы нужно было выбрать из предложенных, то задача некорректна.
Задача 7 (из первого изображения):
В коробке лежат 4 голубых, 3 красных, 9 зеленых, 6 желтых шариков. Какова вероятность того, что выбранный шарик будет не зеленым?
Решение:
Сначала найдем общее количество шариков в коробке:
Количество голубых шариков = 4
Количество красных шариков = 3
Количество зеленых шариков = 9
Количество желтых шариков = 6
Общее количество шариков = \(4 + 3 + 9 + 6 = 22\)
Теперь найдем количество шариков, которые не являются зелеными. Это все шарики, кроме зеленых:
Количество не зеленых шариков = Количество голубых + Количество красных + Количество желтых
Количество не зеленых шариков = \(4 + 3 + 6 = 13\)
Вероятность того, что выбранный шарик будет не зеленым, равна отношению количества не зеленых шариков к общему количеству шариков:
\[P(\text{не зеленый}) = \frac{\text{Количество не зеленых шариков}}{\text{Общее количество шариков}}\] \[P(\text{не зеленый}) = \frac{13}{22}\]Вычислим это значение:
\[\frac{13}{22} \approx 0,5909\]Среди предложенных вариантов ответа нет. Давайте проверим варианты из предыдущей задачи, так как они расположены рядом:
1) 0,24
2) 0,12
3) 0,18
4) 0,072
Эти варианты явно не подходят для данной задачи. Это означает, что либо варианты относятся к предыдущей задаче, либо они отсутствуют для этой задачи на изображении.
Если бы вопрос был "Какова вероятность того, что выбранный шарик будет зеленым?", то ответ был бы \(\frac{9}{22} \approx 0,409\).
Я предоставлю решение и ответ, исходя из условия задачи.
Ответ: \(\frac{13}{22}\) или приблизительно \(0,5909\). Варианты ответа для этой задачи не представлены на изображении.
Задача 2 (из второго изображения):
В 9«Б» классе 32 учащихся. Сколькими способами можно сформировать команду из 4 человек для участия в математической олимпиаде?
Решение:
Эта задача на комбинаторику. Поскольку порядок выбора учеников в команду не имеет значения (команда из А, Б, В, Г - это та же команда, что и из Б, А, Г, В), мы используем формулу для сочетаний без повторений.
Формула для сочетаний \(C_n^k\) (читается "C из n по k") выглядит так:
\[C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}\]где \(n\) - общее количество элементов (учащихся в классе),
\(k\) - количество элементов, которые нужно выбрать (человек в команде),
\(!\) - факториал (произведение всех целых чисел от 1 до данного числа).
В нашем случае:
\(n = 32\) (общее количество учащихся)
\(k = 4\) (количество человек в команде)
Подставляем значения в формулу:
\[C_{32}^4 = \frac{32!}{4!(32-4)!}\] \[C_{32}^4 = \frac{32!}{4!28!}\]Распишем факториалы:
\[C_{32}^4 = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29 \times 28!}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 28!}\]Сокращаем \(28!\) в числителе и знаменателе:
\[C_{32}^4 = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29}{4 \times 3 \times 2 \times 1}\]Выполняем умножение в знаменателе:
\[4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\]Теперь выполним деление и умножение:
\[C_{32}^4 = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29}{24}\]Можно упростить деление:
\(\frac{32}{4} = 8\)
\(\frac{30}{3} = 10\)
\(\frac{8}{2} = 4\)
Тогда:
\[C_{32}^4 = \frac{32}{4 \times 2} \times 31 \times \frac{30}{3} \times 29\] \[C_{32}^4 = 4 \times 31 \times 5 \times 29\]Или так:
\[C_{32}^4 = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29}{24}\]Разделим 32 на 4: \(8\)
Разделим 30 на 3: \(10\)
Разделим 8 на 2: \(4\)
Остается: \(4 \times 31 \times 5 \times 29\)
Вычисляем:
\[4 \times 31 = 124\] \[5 \times 29 = 145\] \[124 \times 145 = 17980\]Давайте пересчитаем еще раз, чтобы быть уверенным:
\[C_{32}^4 = \frac{32 \times 31 \times 30 \times 29}{24}\]Можно сократить 24 с 32 и 30:
\(32 / 8 = 4\)
\(24 / 8 = 3\)
Теперь у нас \(\frac{4 \times 31 \times 30 \times 29}{3}\)
Сократим 30 на 3: \(10\)
Остается \(4 \times 31 \times 10 \times 29\)
\(4 \times 10 = 40\)
\(40 \times 31 = 1240\)
\(1240 \times 29\)
\(1240 \times 29 = 35960\)
Среди предложенных вариантов:
1) 128
2) 35960
3) 36
4) 46788
Наш ответ совпадает с вариантом 2.
Ответ: 2) 35960
Задача 3 (из второго изображения):
Сколько существует различных двузначных чисел, в записи которых можно использовать цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры в числе должны быть различными?
Решение:
Нам нужно составить двузначное число, используя цифры из набора {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Двузначное число состоит из двух разрядов: десятков и единиц.
1. Выбор цифры для разряда десятков:
У нас есть 6 доступных цифр (1, 2, 3, 4, 5, 6). Любая из них может быть цифрой десятков.
Количество вариантов для цифры десятков = 6.
2. Выбор цифры для разряда единиц:
По условию, цифры в числе должны быть различными. Это означает, что цифра, выбранная для разряда десятков, не может быть использована для разряда единиц.
После выбора одной цифры для десятков, остается \(6 - 1 = 5\) доступных цифр для разряда единиц.
Количество вариантов для цифры единиц = 5.
Чтобы найти общее количество различных двузначных чисел, мы умножаем количество вариантов для каждого разряда:
Общее количество чисел = (Количество вариантов для десятков) \(\times\) (Количество вариантов для единиц)
Общее количество чисел = \(6 \times 5 = 30\)
Это также можно решить с помощью формулы размещений без повторений \(A_n^k\), так как порядок цифр имеет значение (например, 12 отличается от 21).
\[A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}\]где \(n = 6\) (общее количество доступных цифр)
\(k = 2\) (количество цифр в числе)
\[A_6^2 = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{4!} = 6 \times 5 = 30\]Среди предложенных вариантов:
1) 10
2) 60
3) 20
4) 30
Наш ответ совпадает с вариантом 4.
Ответ: 4) 30
Задача 4 (из второго изображения):
Вычислить: 6! - 5!
Решение:
Сначала вычислим значения факториалов:
Факториал числа \(n!\) - это произведение всех целых положительных чисел от 1 до \(n\).
1. Вычислим \(6!\):
\[6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\] \[6! = 720\]2. Вычислим \(5!\):
\[5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1\] \[5! = 120\]Теперь выполним вычитание:
\[6! - 5! = 720 - 120\] \[6! - 5! = 600\]Можно также вынести \(5!\) за скобки:
\[6! - 5! = (6 \times 5!) - 5!\] \[6! - 5! = 5! \times (6 - 1)\] \[6! - 5! = 5! \times 5\]Подставим значение \(5! = 120\):
\[5! \times 5 = 120 \times 5\] \[120 \times 5 = 600\]Оба способа дают один и тот же результат.
Среди предложенных вариантов:
1) 600
2) 300
3) 1
4) 1000
Наш ответ совпадает с вариантом 1.
Ответ: 1) 600
Задача 5 (из второго изображения):
В ящике находится 45 шариков, из которых 17 белых. Потеряли 2 не белых шарика. Какова вероятность того, что выбранный наугад шарик будет белым?
Решение:
Сначала определим начальное количество шариков каждого цвета:
Общее количество шариков = 45
Количество белых шариков = 17
Количество не белых шариков = Общее количество - Количество белых
Количество не белых шариков = \(45 - 17 = 28\)
Теперь учтем изменение: потеряли 2 не белых шарика.
Новое количество не белых шариков = \(28 - 2 = 26\)
Количество белых шариков осталось прежним = 17 (потеряли не белые).
Новое общее количество шариков = Новое количество белых + Новое количество не белых
Новое общее количество шариков = \(17 + 26 = 43\)
Теперь найдем вероятность того, что выбранный наугад шарик будет белым, используя новые количества:
\[P(\text{белый}) = \frac{\text{Количество белых шариков}}{\text{Новое общее количество шариков}}\] \[P(\text{белый}) = \frac{17}{43}\]Вычислим это значение:
\[\frac{17}{43} \approx 0,3953\]Среди предложенных вариантов ответа нет. Варианты для этой задачи не представлены на изображении. Если бы они были, я бы выбрал ближайший.
Ответ: \(\frac{17}{43}\) или приблизительно \(0,3953\). Варианты ответа для этой задачи не представлены на изображении.
Задача 6 (из второго изображения):
Бросают три монеты. Какова вероятность того, что выпадут два орла и одна решка?
Решение:
При бросании одной монеты есть 2 возможных исхода: орел (О) или решка (Р).
При бросании трех монет общее количество возможных исходов равно \(2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8\).
Перечислим все возможные исходы:
1. О О О
2. О О Р
3. О Р О
4. Р О О
5. О Р Р
6. Р О Р
7. Р Р О
8. Р Р Р
Теперь найдем количество исходов, при которых выпадают два орла и одна решка. Это следующие исходы:
1. О О Р
2. О Р О
3. Р О О
Количество благоприятных исходов = 3.
Вероятность события равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов:
\[P(\text{два орла и одна решка}) = \frac{\text{Количество благоприятных исходов}}{\text{Общее количество исходов}}\] \[P(\text{два орла и одна решка}) = \frac{3}{8}\]Переведем дробь в десятичное число:
\[\frac{3}{8} = 0,375\]Среди предложенных вариантов:
1)
2) 0,5
3) 0,125
4)
Варианты 1 и 4 не указаны. Вариант 2 (0,5) - это вероятность одного орла и одной решки при двух монетах, или вероятность одного орла при одной монете. Вариант 3 (0,125) - это \(\frac{1}{8}\), что является вероятностью выпадения трех орлов (О О О) или трех решек (Р Р Р).
Наш ответ 0,375 не совпадает ни с одним из указанных числовых вариантов.
Возможно, варианты относятся к другой задаче или есть опечатка.
Я предоставлю решение и ответ, исходя из условия задачи.
Ответ: \(\frac{3}{8}\) или \(0,375\). Среди предложенных вариантов ответа нет.
Задача 7 (из второго изображения):
В денежно-вещевой лотерее на 1000000 билетов разыгрывается 1200 вещевых и 800 денежных выигрышей. Какова вероятность выигрыша?
Решение:
Сначала найдем общее количество выигрышных билетов:
Количество вещевых выигрышей = 1200
Количество денежных выигрышей = 800
Общее количество выигрышных билетов = \(1200 + 800 = 2000\)
Общее количество билетов в лотерее = 1000000.
Вероятность выигрыша равна отношению общего количества выигрышных билетов к общему количеству билетов:
\[P(\text{выигрыш}) = \frac{\text{Общее количество выигрышных билетов}}{\text{Общее количество билетов}}\] \[P(\text{выигрыш}) = \frac{2000}{1000000}\]Упростим дробь, сократив нули:
\[P(\text{выигрыш}) = \frac{2}{1000}\]Переведем дробь в десятичное число:
\[P(\text{выигрыш}) = 0,002\]Среди предложенных вариантов:
1) 0,02
2) 0,00012
3) 0,0008
4) 0,002
Наш ответ совпадает с вариантом 4.
Ответ: 4) 0,002