Решение задачи про велосипедиста в парке

Вот решения задач, оформленные так, чтобы было удобно переписать в тетрадь. Домашняя работа Задача 1. Велосипедист едет по парковой дорожке и планирует выехать из парка через один из пяти выходов (А, Б, В, Г или Д). Велосипедист едет только вперед и на каждой развилке случайным образом выбирает одну из дорожек, по которой еще не ехал. Какова вероятность того, что велосипедист покинет парк: а) через выход Б; б) через выход Д? Решение: Рассмотрим схему дорожек. На первой развилке велосипедист может выбрать одну из двух дорожек. Если он выбирает левую дорожку, то попадает на развилку, откуда можно поехать к выходам А, Б или В. Если он выбирает правую дорожку, то попадает на развилку, откуда можно поехать к выходам Г или Д. а) Вероятность выехать через выход Б. Чтобы попасть к выходу Б, велосипедист должен сначала выбрать левую дорожку на первой развилке. Вероятность этого равна \( \frac{1}{2} \). Затем, оказавшись на левой развилке, он может выбрать одну из трех дорожек (к А, Б или В). Вероятность выбрать дорожку к Б равна \( \frac{1}{3} \). Таким образом, вероятность выехать через выход Б равна произведению этих вероятностей: \( P(Б) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \) б) Вероятность выехать через выход Д. Чтобы попасть к выходу Д, велосипедист должен сначала выбрать правую дорожку на первой развилке. Вероятность этого равна \( \frac{1}{2} \). Затем, оказавшись на правой развилке, он может выбрать одну из двух дорожек (к Г или Д). Вероятность выбрать дорожку к Д равна \( \frac{1}{2} \). Таким образом, вероятность выехать через выход Д равна произведению этих вероятностей: \( P(Д) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \) Ответ: а) \( \frac{1}{6} \) б) \( \frac{1}{4} \) Задача 2. Пусть известно, что выходы Б и В ведут к спортивной площадке. Найдите вероятность того, что велосипедист выедет из парка к спортивной площадке. Решение: Вероятность выехать через выход Б мы уже нашли в задаче 1а: \( P(Б) = \frac{1}{6} \). Теперь найдем вероятность выехать через выход В. Чтобы попасть к выходу В, велосипедист должен сначала выбрать левую дорожку на первой развилке. Вероятность этого равна \( \frac{1}{2} \). Затем, оказавшись на левой развилке, он может выбрать одну из трех дорожек (к А, Б или В). Вероятность выбрать дорожку к В равна \( \frac{1}{3} \). Таким образом, вероятность выехать через выход В равна произведению этих вероятностей: \( P(В) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6} \) Поскольку выходы Б и В ведут к спортивной площадке, и эти события (выезд через Б и выезд через В) являются несовместными, то общая вероятность выехать к спортивной площадке равна сумме вероятностей выезда через Б и через В: \( P(\text{спорт. площадка}) = P(Б) + P(В) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \) Ответ: \( \frac{1}{3} \) Задача 3. Предприятие изготавливает наушники. Известно, что 5% готовых наушников неисправны. Из этих неисправных наушников 92% обнаруживается при контроле качества продукции. Однако система контроля ошибочно бракует 1% исправных наушников. Наушники, которые не забракованы, упаковываются и поступают в продажу. Найдите вероятность того, что случайно выбранные изготовленные на предприятии наушники поступят в продажу. Решение: Обозначим события: И - наушник исправен Н - наушник неисправен П - наушник поступил в продажу (не забракован) З - наушник забракован Дано: \( P(Н) = 0.05 \) (5% неисправны) Тогда \( P(И) = 1 - P(Н) = 1 - 0.05 = 0.95 \) (95% исправны) Из неисправных наушников 92% обнаруживается при контроле, то есть бракуется. \( P(З | Н) = 0.92 \) (вероятность забраковать неисправный) Значит, не забраковывается \( 1 - 0.92 = 0.08 \) неисправных наушников. \( P(П | Н) = 0.08 \) (вероятность, что неисправный наушник поступит в продажу) Система контроля ошибочно бракует 1% исправных наушников. \( P(З | И) = 0.01 \) (вероятность забраковать исправный) Значит, не бракуется \( 1 - 0.01 = 0.99 \) исправных наушников. \( P(П | И) = 0.99 \) (вероятность, что исправный наушник поступит в продажу) Нам нужно найти вероятность того, что случайно выбранный наушник поступит в продажу, то есть \( P(П) \). По формуле полной вероятности: \( P(П) = P(П | И) \cdot P(И) + P(П | Н) \cdot P(Н) \) \( P(П) = 0.99 \cdot 0.95 + 0.08 \cdot 0.05 \) \( P(П) = 0.9405 + 0.004 \) \( P(П) = 0.9445 \) Ответ: \( 0.9445 \) Задача 4. Все варианты контрольной работы состоят из трех задач. Вероятность того, что школьник решит верно первую задачу, равна 0,9, вторую - 0,8, третью - 0,7. Найдите вероятность того, что школьник, выбрав случайный вариант контрольной работы, решит верно по крайней мере две задачи. Решение: Обозначим вероятности решения задач: \( P(З_1) = 0.9 \) (вероятность решить первую задачу) \( P(З_2) = 0.8 \) (вероятность решить вторую задачу) \( P(З_3) = 0.7 \) (вероятность решить третью задачу) Вероятности не решить задачи: \( P(\text{не } З_1) = 1 - 0.9 = 0.1 \) \( P(\text{не } З_2) = 1 - 0.8 = 0.2 \) \( P(\text{не } З_3) = 1 - 0.7 = 0.3 \) Нам нужно найти вероятность того, что школьник решит верно по крайней мере две задачи. Это означает, что он решит либо ровно две задачи, либо все три задачи. Рассмотрим все возможные комбинации: 1. Решены все три задачи: \( P(З_1 \text{ и } З_2 \text{ и } З_3) = P(З_1) \cdot P(З_2) \cdot P(З_3) = 0.9 \cdot 0.8 \cdot 0.7 = 0.504 \) 2. Решены ровно две задачи: а) Решены \( З_1 \) и \( З_2 \), не решена \( З_3 \): \( P(З_1 \text{ и } З_2 \text{ и не } З_3) = P(З_1) \cdot P(З_2) \cdot P(\text{не } З_3) = 0.9 \cdot 0.8 \cdot 0.3 = 0.216 \) б) Решены \( З_1 \) и \( З_3 \), не решена \( З_2 \): \( P(З_1 \text{ и не } З_2 \text{ и } З_3) = P(З_1) \cdot P(\text{не } З_2) \cdot P(З_3) = 0.9 \cdot 0.2 \cdot 0.7 = 0.126 \) в) Решены \( З_2 \) и \( З_3 \), не решена \( З_1 \): \( P(\text{не } З_1 \text{ и } З_2 \text{ и } З_3) = P(\text{не } З_1) \cdot P(З_2) \cdot P(З_3) = 0.1 \cdot 0.8 \cdot 0.7 = 0.056 \) Вероятность решить по крайней мере две задачи равна сумме вероятностей этих несовместных событий: \( P(\text{по крайней мере 2}) = P(З_1 \text{ и } З_2 \text{ и } З_3) + P(З_1 \text{ и } З_2 \text{ и не } З_3) + P(З_1 \text{ и не } З_2 \text{ и } З_3) + P(\text{не } З_1 \text{ и } З_2 \text{ и } З_3) \) \( P(\text{по крайней мере 2}) = 0.504 + 0.216 + 0.126 + 0.056 \) \( P(\text{по крайней мере 2}) = 0.902 \) Ответ: \( 0.902 \)