Описанные и вписанные окружности. Вариант 2. Решение

Хорошо, давайте решим все задания по порядку. Заголовок: Описанные и вписанные окружности. Вариант 2. Задание 1. Центр вписанной в треугольник окружности является точкой пересечения ... 1) медиан; 2) биссектрис; 3) высот; 4) серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Решение: Центр вписанной в треугольник окружности всегда является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Ответ: 2) биссектрис. Задание 2. \(\angle BAC = 30^\circ\), \(\angle DBC = 70^\circ\). Найдите \(\angle BCD\). Решение: Для решения этой задачи нам не хватает информации о том, что это за фигура. Предположим, что это треугольник ABC, и точка D лежит на стороне AC, или это четырехугольник ABCD. Однако, судя по формулировке, это, скорее всего, относится к треугольнику, где D - это какая-то точка, связанная с треугольником. Если это треугольник ABC, и D - точка на стороне AC, то \(\angle BAC\) - это \(\angle A\), а \(\angle DBC\) - это угол, образованный отрезком BD. Без рисунка или дополнительного описания фигуры, однозначно решить эту задачу невозможно. Если предположить, что это треугольник ABC, и D - точка на стороне AC, то \(\angle BAC\) - это \(\angle A\). \(\angle DBC\) - это угол в треугольнике BDC. Если это треугольник ABC, и D - точка на стороне AC, то \(\angle BCD\) - это \(\angle C\). Если это треугольник ABC, и D - точка на стороне AC, то \(\angle BDC\) - это внешний угол для треугольника ABD. Но это лишь предположения. Давайте рассмотрим наиболее вероятный сценарий для школьной задачи: это треугольник ABC, и D - точка на стороне AC. Тогда \(\angle BAC\) - это \(\angle A\). \(\angle DBC\) - это часть угла \(\angle B\). Если это так, то \(\angle BCD\) - это \(\angle C\). В треугольнике ABC сумма углов равна \(180^\circ\). \(\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ\). Мы знаем \(\angle A = 30^\circ\). Мы знаем \(\angle DBC = 70^\circ\). Если D лежит на AC, то \(\angle ABC = \angle ABD + \angle DBC\). Мы не знаем \(\angle ABD\). Возможно, это задача из раздела "Описанные и вписанные окружности", и тогда D - это точка на окружности, или это углы, связанные с хордами. Если это углы вписанного четырехугольника ABCD, то \(\angle BAC\) и \(\angle BDC\) опираются на одну дугу BC. Но тогда \(\angle BAC = \angle BDC\). Если \(\angle BAC = 30^\circ\), то \(\angle BDC = 30^\circ\). Тогда в треугольнике BDC: \(\angle DBC = 70^\circ\), \(\angle BDC = 30^\circ\). Сумма углов в треугольнике BDC: \(\angle BCD + \angle DBC + \angle BDC = 180^\circ\). \(\angle BCD + 70^\circ + 30^\circ = 180^\circ\). \(\angle BCD + 100^\circ = 180^\circ\). \(\angle BCD = 180^\circ - 100^\circ = 80^\circ\). Это наиболее логичное решение, если задача относится к вписанным четырехугольникам. Ответ: \(\angle BCD = 80^\circ\). Задание 3. Трапеция ABCD вписана в окружность (рис. 3), центр O которой лежит на большем основании AD. Найдите радиус вписанной окружности, если \(CD = 9\) см, \(BD = 12\) см. Решение: Если трапеция вписана в окружность, то она является равнобедренной. Если центр окружности лежит на большем основании AD, то AD является диаметром окружности. Значит, \(\angle ABD = 90^\circ\) (угол, опирающийся на диаметр). В прямоугольном треугольнике ABD: По теореме Пифагора: \(AD^2 = AB^2 + BD^2\). Мы знаем \(BD = 12\) см. Также, поскольку трапеция равнобедренная, \(AB = CD\). Значит, \(AB = 9\) см. Тогда \(AD^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225\). \(AD = \sqrt{225} = 15\) см. Радиус описанной окружности \(R = AD/2 = 15/2 = 7.5\) см. Теперь нам нужно найти радиус вписанной окружности. Трапеция может быть вписана в окружность только если она равнобедренная. Трапеция может быть описана около окружности, если сумма её оснований равна сумме её боковых сторон. То есть, \(AB + CD = BC + AD\). Но это неверно. Условие для описанной окружности: \(AB + CD = BC + AD\) - это для четырехугольника, в который можно вписать окружность. Для трапеции, в которую можно вписать окружность, сумма оснований равна сумме боковых сторон: \(a + b = c + d\). В нашем случае, \(AB = CD = 9\) см. Значит, \(BC + AD = AB + CD = 9 + 9 = 18\) см. Мы знаем \(AD = 15\) см. Тогда \(BC + 15 = 18\). \(BC = 18 - 15 = 3\) см. Теперь у нас есть все стороны трапеции: \(AB = 9\) см, \(CD = 9\) см, \(AD = 15\) см, \(BC = 3\) см. Высота трапеции \(h\) равна диаметру вписанной окружности, то есть \(h = 2r\). Опустим высоты из вершин B и C на основание AD. Пусть это будут точки \(B_1\) и \(C_1\). Тогда \(B_1C_1 = BC = 3\) см. \(AB_1 = (AD - BC)/2 = (15 - 3)/2 = 12/2 = 6\) см. В прямоугольном треугольнике \(ABB_1\): \(AB^2 = AB_1^2 + BB_1^2\). \(9^2 = 6^2 + h^2\). \(81 = 36 + h^2\). \(h^2 = 81 - 36 = 45\). \(h = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}\) см. Радиус вписанной окружности \(r = h/2 = (3\sqrt{5})/2\) см. Ответ: Радиус вписанной окружности \(r = \frac{3\sqrt{5}}{2}\) см. Задание 4. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если радиус вписанной в него окружности \(r = 2\) см, а радиус описанной окружности \(R = 5\) см. Решение: Для прямоугольного треугольника радиус описанной окружности равен половине гипотенузы. Значит, гипотенуза \(c = 2R = 2 \cdot 5 = 10\) см. Формула для радиуса вписанной окружности в прямоугольный треугольник: \(r = \frac{a + b - c}{2}\), где \(a\) и \(b\) - катеты, \(c\) - гипотенуза. Мы знаем \(r = 2\) и \(c = 10\). \(2 = \frac{a + b - 10}{2}\). \(4 = a + b - 10\). \(a + b = 14\). Площадь прямоугольного треугольника \(S = \frac{1}{2}ab\). Мы также знаем теорему Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\). \(a^2 + b^2 = 10^2 = 100\). У нас есть система уравнений: 1) \(a + b = 14\) 2) \(a^2 + b^2 = 100\) Из первого уравнения выразим \(b = 14 - a\). Подставим во второе уравнение: \(a^2 + (14 - a)^2 = 100\). \(a^2 + (196 - 28a + a^2) = 100\). \(2a^2 - 28a + 196 - 100 = 0\). \(2a^2 - 28a + 96 = 0\). Разделим на 2: \(a^2 - 14a + 48 = 0\). Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-14)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 48 = 196 - 192 = 4\). \(a = \frac{-(-14) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{14 \pm 2}{2}\). Два решения для \(a\): \(a_1 = \frac{14 + 2}{2} = \frac{16}{2} = 8\). \(a_2 = \frac{14 - 2}{2} = \frac{12}{2} = 6\). Если \(a = 8\), то \(b = 14 - 8 = 6\). Если \(a = 6\), то \(b = 14 - 6 = 8\). Катеты треугольника равны 6 см и 8 см. Теперь найдем площадь: \(S = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8 = \frac{1}{2} \cdot 48 = 24\) см\(^2\). Ответ: Площадь прямоугольного треугольника равна 24 см\(^2\). Задание 5. Дана прямоугольная трапеция, меньшее основание которой равно 6 см, а радиус вписанной в нее окружности — 4 см. Найдите площадь трапеции. Решение: В прямоугольную трапецию можно вписать окружность. Если в трапецию можно вписать окружность, то сумма её оснований равна сумме боковых сторон. Пусть меньшее основание \(b = 6\) см. Пусть большее основание \(a\). Высота трапеции \(h\) равна диаметру вписанной окружности. Радиус вписанной окружности \(r = 4\) см, значит, \(h = 2r = 2 \cdot 4 = 8\) см. В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям и равна высоте. Значит, одна боковая сторона \(c_1 = h = 8\) см. Пусть другая боковая сторона \(c_2\). По свойству трапеции, в которую можно вписать окружность: \(a + b = c_1 + c_2\). \(a + 6 = 8 + c_2\). \(a - c_2 = 2\). Опустим высоту из вершины меньшего основания на большее основание. Получится прямоугольный треугольник, у которого один катет равен высоте \(h = 8\) см, а другой катет равен \(a - b\). Гипотенуза этого треугольника - боковая сторона \(c_2\). По теореме Пифагора: \(c_2^2 = h^2 + (a - b)^2\). \(c_2^2 = 8^2 + (a - 6)^2\). \(c_2^2 = 64 + (a - 6)^2\). У нас есть система уравнений: 1) \(a + 6 = 8 + c_2 \Rightarrow c_2 = a - 2\) 2) \(c_2^2 = 64 + (a - 6)^2\) Подставим \(c_2\) из первого уравнения во второе: \((a - 2)^2 = 64 + (a - 6)^2\). \(a^2 - 4a + 4 = 64 + a^2 - 12a + 36\). \(a^2 - 4a + 4 = a^2 - 12a + 100\). Перенесем все члены с \(a\) в одну сторону, а числа в другую: \(-4a + 12a = 100 - 4\). \(8a = 96\). \(a = \frac{96}{8} = 12\) см. Итак, большее основание \(a = 12\) см. Меньшее основание \(b = 6\) см. Высота \(h = 8\) см. Площадь трапеции \(S = \frac{a + b}{2} \cdot h\). \(S = \frac{12 + 6}{2} \cdot 8\). \(S = \frac{18}{2} \cdot 8\). \(S = 9 \cdot 8 = 72\) см\(^2\). Ответ: Площадь трапеции равна 72 см\(^2\).