Решение задачи: Свойства операции включения

Хорошо, давайте разберем каждое задание по порядку. Задание 9. Из предлагаемого перечня вариантов ответа обведите кружком номера ответов, совокупность которых составляет наиболее полный ответ. Для операции включения справедливы свойства: 1. Каждое множество есть подмножество самого себя: \(A \subseteq A\) 2. Если \(A \subseteq B\) и \(B \subseteq C\), то \(A \subseteq C\) 3. Пустое \(\emptyset\) множество есть подмножество \(U\) множества 4. Пустое множество \(A \cap \emptyset\) имеет по крайней мере два различных подмножества: \(A\) и \(\emptyset\) 5. Если \(A \subseteq B\) и \(B \subseteq C\), то \(A \subseteq C\) 6. Если \(A = B\) и \(B \subseteq C\), то \(A \subseteq C\) Правильный ответ: Давайте проанализируем каждое утверждение относительно операции включения (\(\subseteq\)): 1. Каждое множество есть подмножество самого себя: \(A \subseteq A\). Это верно по определению подмножества (каждый элемент А принадлежит А). 2. Если \(A \subseteq B\) и \(B \subseteq C\), то \(A \subseteq C\). Это свойство транзитивности включения. Оно верно. 3. Пустое \(\emptyset\) множество есть подмножество \(U\) множества. Пустое множество является подмножеством любого множества, включая универсальное множество \(U\). Это верно. 4. Пустое множество \(A \cap \emptyset\) имеет по крайней мере два различных подмножества: \(A\) и \(\emptyset\). \(A \cap \emptyset = \emptyset\). Пустое множество имеет только одно подмножество - само себя (\(\emptyset\)). Утверждение неверно. 5. Это утверждение повторяет утверждение 2. 6. Если \(A = B\) и \(B \subseteq C\), то \(A \subseteq C\). Если \(A = B\), то \(A\) и \(B\) - это одно и то же множество. Если \(B \subseteq C\), то, очевидно, \(A \subseteq C\). Это верно. Наиболее полный ответ включает все верные и не повторяющиеся утверждения. Верные утверждения: 1, 2, 3, 6. Утверждение 5 повторяет 2. Таким образом, правильные ответы: 1) Каждое множество есть подмножество самого себя: \(A \subseteq A\) 2) Если \(A \subseteq B\) и \(B \subseteq C\), то \(A \subseteq C\) 3) Пустое \(\emptyset\) множество есть подмножество \(U\) множества 6) Если \(A = B\) и \(B \subseteq C\), то \(A \subseteq C\) Задание 10. Из предлагаемого перечня вариантов ответа обведите кружком номера ответов, совокупность которых составляет наиболее полный ответ. Отношение \(aRb\) на множестве R обладает свойствами 1) Рефлексивность 2) Симметричность 3) Асимметричность 4) Транзитивность 5) Антитранзитивность 6) Связность Правильный ответ: Отношение \(aRb\) на множестве R (вероятно, имеется в виду множество действительных чисел, или просто абстрактное множество R) может обладать различными свойствами. Вопрос сформулирован так, что нужно выбрать все свойства, которыми *может* обладать отношение. Это не вопрос о конкретном отношении, а о перечне возможных свойств. Перечисленные свойства являются основными свойствами бинарных отношений: 1. Рефлексивность: \(aRa\) для всех \(a \in R\). 2. Симметричность: если \(aRb\), то \(bRa\). 3. Асимметричность: если \(aRb\), то не \(bRa\). (Если отношение асимметрично, оно не может быть рефлексивным, кроме как для пустого отношения). 4. Транзитивность: если \(aRb\) и \(bRc\), то \(aRc\). 5. Антитранзитивность: если \(aRb\) и \(bRc\), то не \(aRc\). (Это не стандартное свойство, обычно говорят об антисимметричности, но если оно дано, то это свойство). 6. Связность: для любых \(a, b \in R\), либо \(aRb\), либо \(bRa\). Все эти свойства являются возможными свойствами для бинарного отношения. Вопрос не просит выбрать свойства конкретного отношения, а просит выбрать из списка те, которые являются свойствами отношений в целом. Поэтому, все перечисленные свойства являются свойствами, которыми может обладать отношение. 1) Рефлексивность 2) Симметричность 3) Асимметричность 4) Транзитивность 5) Антитранзитивность 6) Связность Задание 11. Укажите номер столбца, содержащего таблицу истинности операции Штрих Шеффера x | y | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 --|---|---|---|---|---|---|---|--- 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 Правильный ответ: Операция Штрих Шеффера (обозначается как \(x | y\) или \(x \uparrow y\)) определяется как НЕ (x И y). Её таблица истинности: x | y | x И y | НЕ (x И y) --|---|-------|----------- 0 | 0 | 0 | 1 0 | 1 | 0 | 1 1 | 0 | 0 | 1 1 | 1 | 1 | 0 Теперь сравним это с предложенными столбцами: Столбец 1: 1, 0, 0, 1 (не подходит) Столбец 2: 0, 0, 0, 1 (это И) Столбец 3: 1, 1, 1, 1 (это всегда истина) Столбец 4: 1, 0, 0, 0 (это НЕ И) - это и есть Штрих Шеффера, но для \(x \uparrow y\) должно быть 1,1,1,0. Давайте перепроверим. Штрих Шеффера \(x \uparrow y\) истинно тогда и только тогда, когда хотя бы один из операндов ложен. x | y | \(x \uparrow y\) --|---|----------- 0 | 0 | 1 0 | 1 | 1 1 | 0 | 1 1 | 1 | 0 Теперь сравним с таблицей: Столбец 1: 1, 0, 0, 1 (не подходит) Столбец 2: 0, 0, 0, 1 (это \(x \land y\)) Столбец 3: 1, 1, 1, 1 (это константа "истина") Столбец 4: 1, 0, 0, 0 (это \(x \lor y\)?) Нет, это \(x \land \neg y\) или что-то подобное. Столбец 5: 1, 1, 1, 0 (это Штрих Шеффера!) Столбец 6: 0, 1, 1, 0 (это \(x \oplus y\), исключающее ИЛИ) Столбец 7: 0, 0, 0, 0 (это константа "ложь") Таким образом, столбец 5 соответствует таблице истинности операции Штрих Шеффера. Номер столбца: 5 Задание 12. Выберите верный, на Ваш взгляд, ответ и обведите кружком его номер. Высказыванием не является 1) \(2 * 2 = 4\) Правильный ответ: Высказывание - это повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. 1) \(2 * 2 = 4\) - это математическое утверждение, которое является истинным. Следовательно, это высказывание. Вопрос просит указать, что *не является* высказыванием. В данном задании представлен только один вариант, который является высказыванием. Возможно, подразумевается, что это единственный вариант, и он является высказыванием, а других вариантов, которые не являются высказываниями, нет. Или же это часть более крупного задания, где нужно выбрать из нескольких вариантов. Если это единственный вариант, и он является высказыванием, то в задании ошибка или неполный список вариантов. Однако, если мы должны выбрать из того, что дано, и предполагается, что есть только один вариант, который *не* является высказыванием, то этот вариант должен быть другим. Поскольку дан только один вариант, и он является высказыванием, то либо задание неполное, либо ответ должен быть "нет такого варианта". Но если мы должны выбрать из того, что есть, и принять, что это единственный вариант, то он *является* высказыванием. Если бы был вариант, например, "Иди сюда!" или "Какого цвета этот стол?", то они не были бы высказываниями. Предположим, что это задание с одним вариантом ответа, и нужно выбрать тот, который *не* является высказыванием. В таком случае, если \(2 * 2 = 4\) - это высказывание, то этот вариант не подходит. Если же это задание, где нужно выбрать *все* варианты, которые не являются высказываниями, и дан только один, который является высказыванием, то правильного ответа из предложенного списка нет. Исходя из формулировки "Высказыванием не является", и если это единственный вариант, то он не подходит. Если бы были другие варианты, например: а) "Сегодня хорошая погода." (Это высказывание, хотя его истинность субъективна, но в конкретный момент времени оно либо истинно, либо ложно). б) "Открой дверь!" (Это побудительное предложение, не высказывание). в) "x + 5 = 10" (Это предикат, а не высказывание, пока x не определен). Поскольку дан только один вариант, и он является высказыванием, то я не могу выбрать его как "не является высказыванием". Если это задание с одним правильным ответом, то в условии ошибка или неполный список. Если же это задание, где нужно выбрать из списка, и список неполный, то я не могу дать ответ. Однако, если я должен выбрать из того, что есть, и предположить, что это единственный вариант, то он *является* высказыванием. Поэтому, если вопрос требует выбрать *не* высказывание, а данное утверждение *является* высказыванием, то правильного ответа из предложенного нет. Давайте предположим, что это опечатка в задании, и оно должно было быть "Высказыванием является". Тогда ответ был бы 1). Но если строго следовать вопросу "Высказыванием не является", то из предложенного варианта (который является высказыванием) выбрать нечего. Я вынужден констатировать, что при данном единственном варианте ответа, который является высказыванием, невозможно выбрать вариант, который "не является высказыванием". Задание 13. Выберите верный, на Ваш взгляд, ответ и обведите кружком его номер. Связное повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно, называется 1) тавтология 2) высказывание 3) предикат 4) повествование Правильный ответ: Определение "связное повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно" точно соответствует определению высказывания в математической логике. 2) высказывание Задание 14. Поставить в соответствие а) \(X \rightarrow Y\) б) \(X \& Y\) 1) \(X \uparrow Y\) 2) \(X \downarrow Y\) 3) \(X \oplus Y\) с) \(X \lor Y\) Правильный ответ: Здесь нужно сопоставить логические операции с их обозначениями. а) \(X \rightarrow Y\) - это импликация. б) \(X \& Y\) - это конъюнкция (логическое И). с) \(X \lor Y\) - это дизъюнкция (логическое ИЛИ). Теперь посмотрим на предложенные обозначения: 1) \(X \uparrow Y\) - это Штрих Шеффера (НЕ (X И Y)). 2) \(X \downarrow Y\) - это Стрелка Пирса (НЕ (X ИЛИ Y)). 3) \(X \oplus Y\) - это исключающее ИЛИ. В задании нет вариантов для импликации, конъюнкции и дизъюнкции среди 1), 2), 3). Возможно, задание подразумевает, что нужно сопоставить эти операции с их названиями, а не с другими операциями. Если же нужно сопоставить с 1), 2), 3), то это невозможно, так как ни одна из них не является импликацией, конъюнкцией или дизъюнкцией. Давайте перепроверим формулировку. "Поставить в соответствие". Если это означает, что нужно найти, какая из операций 1), 2), 3) соответствует а), б), с), то это невозможно. Если же это означает, что нужно сопоставить а), б), с) с их названиями, то названия не даны. Предположим, что это задание на сопоставление, где а), б), с) - это операции, а 1), 2), 3) - это другие операции, и нужно найти эквивалентность. Но это маловероятно, так как они не эквивалентны. Возможно, это задание на сопоставление с названиями, которые не были приведены в этом фрагменте. Если же это задание на сопоставление с другими операциями, то оно некорректно, так как нет прямых соответствий. Если бы вопрос был "Какие из следующих операций являются...", то можно было бы ответить. Но "Поставить в соответствие" требует пары. Без дополнительных вариантов или уточнений, это задание не может быть решено. Если предположить, что это задание из раздела, где ранее были даны названия операций, и нужно сопоставить символы с названиями, то: а) \(X \rightarrow Y\) - Импликация б) \(X \& Y\) - Конъюнкция с) \(X \lor Y\) - Дизъюнкция Но если нужно сопоставить с 1), 2), 3), то это невозможно. Я не могу дать точный ответ на это задание, так как оно кажется неполным или некорректно сформулированным в данном контексте. Задание 15. Из предлагаемого перечня вариантов ответа обведите кружком номера ответов, совокупность которых составляет наиболее полный ответ. Двойственными друг другу называются символы 1) отрицания 2) конъюнкции 3) дизъюнкции 4) импликации 5) эквиваленции Правильный ответ: В математической логике двойственными операциями называются те, которые переходят друг в друга при замене всех переменных на их отрицания, а также при замене конъюнкции на дизъюнкцию и наоборот. Согласно законам де Моргана: \(\neg(A \land B) \equiv \neg A \lor \neg B\) \(\neg(A \lor B) \equiv \neg A \land \neg B\) Это показывает, что конъюнкция и дизъюнкция являются двойственными друг другу (с учетом отрицания). Также, отрицание является двойственным самому себе. Импликация и эквиваленция не являются двойственными друг другу в прямом смысле. Однако, в контексте "двойственными друг другу называются символы", это может относиться к парам операций, которые являются двойственными. Конъюнкция и дизъюнкция являются двойственными. Отрицание является двойственным самому себе. Если вопрос подразумевает пары операций, то это конъюнкция и дизъюнкция. Если вопрос подразумевает, какие из перечисленных операций имеют двойственные аналоги, то все, кроме, возможно, эквиваленции в простом смысле. Давайте рассмотрим стандартное определение двойственности. Две формулы \(F\) и \(G\) называются двойственными, если \(F \equiv \neg G^*\), где \(G^*\) получается из \(G\) заменой \(\land\) на \(\lor\), \(\lor\) на \(\land\), 0 на 1, 1 на 0. Или, более просто, операции \(f\) и \(g\) двойственны, если \(f(x_1, \dots, x_n) = \neg g(\neg x_1, \dots, \neg x_n)\). * Отрицание: \(\neg x\). Двойственное к \(\neg x\) это \(\neg (\neg x) = x\). * Конъюнкция: \(x \land y\). Двойственное к \(x \land y\) это \(\neg (\neg x \lor \neg y)\). * Дизъюнкция: \(x \lor y\). Двойственное к \(x \lor y\) это \(\neg (\neg x \land \neg y)\). В контексте "двойственными друг другу называются символы", обычно имеют в виду пары операций, которые связаны законами де Моргана. Это конъюнкция и дизъюнкция. 3) дизъюнкции 2) конъюнкции Задание 16. Решите задачу. Упростить выражение: \(xy(\neg x \rightarrow y)\) Правильный ответ: Давайте упростим выражение, используя свойства логических операций. Импликация \(\neg x \rightarrow y\) эквивалентна \(\neg (\neg x) \lor y\), что равносильно \(x \lor y\). Теперь подставим это обратно в исходное выражение: \(xy(x \lor y)\) Раскроем скобки, используя дистрибутивный закон: \((xy \land x) \lor (xy \land y)\) Поглощение: \(xy \land x \equiv xy\) (поскольку \(xy\) подразумевает \(x\)) Поглощение: \(xy \land y \equiv xy\) (поскольку \(xy\) подразумевает \(y\)) Таким образом, выражение упрощается до: \(xy \lor xy\) Что равносильно: \(xy\) Итак, упрощенное выражение: \(xy\) Задание 17. Выберите верный, на Ваш взгляд, ответ и обведите кружком его номер. Функцией алгебры логики от n переменных \(x_1, x_2, \dots, x_n\) называется любая функция: 1) \(f: R \rightarrow \{0,1\}\) 2) \(f: \{0,1\} \rightarrow \{0,1\}\) 3) \(f: \{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}\) 4) \(f: \{0,1\} \rightarrow R\) Правильный ответ: Функция алгебры логики (или булева функция) от \(n\) переменных - это функция, которая принимает \(n\) булевых значений (0 или 1) и возвращает одно булево значение (0 или 1). Область определения такой функции - это множество всех возможных \(n\)-кортежей из \(\{0,1\}\), то есть \(\{0,1\}^n\). Область значений такой функции - это \(\{0,1\}\). Следовательно, верное определение: 3) \(f: \{0,1\}^n \rightarrow \{0,1\}\)