Решение контрольной работы №2 по динамике (вариант 2)

Хорошо, давайте решим все задания по порядку. Контрольная работа № 2 Основы динамики Вариант 2 1. Единицей измерения коэффициента жёсткости \(k\) в СИ является: 1) Дж/кг; 2) кг/м\(^2\); 3) Н/м; 4) Н/м\(^2\); 5) \(k\) – безразмерная величина. Решение: Коэффициент жёсткости \(k\) определяется из закона Гука: \(F = k \cdot \Delta x\), где \(F\) – сила (измеряется в Ньютонах, Н), а \(\Delta x\) – деформация (измеряется в метрах, м). Отсюда \(k = \frac{F}{\Delta x}\). Единица измерения \(k\) будет \(\frac{\text{Н}}{\text{м}}\). Ответ: 3) Н/м. 2. Векторное равенство \(\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}\) выражает: 1) первый закон Ньютона; 2) второй закон Ньютона; 3) третий закон Ньютона; 4) закон всемирного тяготения; 5) принцип относительности Галилея. Решение: Векторное равенство \(\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m}\) или \(\vec{F} = m\vec{a}\) является математической формулировкой второго закона Ньютона, который связывает силу, действующую на тело, его массу и ускорение. Ответ: 2) второй закон Ньютона. 3. На рис. 12 изображён брусок, движущийся по горизонтальной поверхности в направлении оси Ox. Сила нормальной реакции опоры, действующая на брусок со стороны поверхности, обозначена цифрой: 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4; 5) 5. Решение: На рис. 12: 1 – это сила, направленная вверх, перпендикулярно поверхности. Это и есть сила нормальной реакции опоры. 2 – это сила, направленная вниз, перпендикулярно поверхности. Это сила тяжести. 3 – это сила, направленная влево, параллельно поверхности. Это может быть сила трения или внешняя сила. 4 – это сила, направленная вправо, параллельно поверхности. Это может быть внешняя сила или сила тяги. 5 – это ускорение. Ответ: 1) 1. 4. Тело движется по горизонтальной поверхности, действующая на тело сила нормальной реакции опоры \(N = 30\) Н. Определите модуль силы трения \(F_{тр}\), действующей на тело, если коэффициент трения между поверхностью и телом \(\mu = 0,21\). 1) 6,3 Н; 2) 7,0 Н; 3) 30 Н; 4) 63 Н; 5) 70 Н. Решение: Сила трения скольжения \(F_{тр}\) определяется по формуле: \(F_{тр} = \mu N\), где \(\mu\) – коэффициент трения, а \(N\) – сила нормальной реакции опоры. Дано: \(N = 30\) Н \(\mu = 0,21\) \(F_{тр} = 0,21 \cdot 30\) Н \(F_{тр} = 6,3\) Н Ответ: 1) 6,3 Н. 5. На тело, движущееся по горизонтальной поверхности, действует сила трения, модуль которой \(F_{тр} = 1,2\) Н. Коэффициент трения между поверхностью и телом \(\mu = 0,30\). Определите модуль силы нормальной реакции опоры \(N\), действующей на тело. Решение: Используем ту же формулу для силы трения: \(F_{тр} = \mu N\). Отсюда \(N = \frac{F_{тр}}{\mu}\). Дано: \(F_{тр} = 1,2\) Н \(\mu = 0,30\) \(N = \frac{1,2}{0,30}\) Н \(N = 4\) Н Ответ: 4 Н. 6. На рис. 13 представлен график зависимости проекции силы \(F_x\) от растяжения пружины \(x\). Определите коэффициент жёсткости пружины \(k\). Решение: График на рис. 13 показывает линейную зависимость силы \(F_x\) от растяжения \(x\). Это соответствует закону Гука \(F_x = kx\). Коэффициент жёсткости \(k\) равен тангенсу угла наклона графика, то есть \(k = \frac{F_x}{x}\). Возьмём любую точку на графике, например, при \(x = 4,0\) см (или \(0,04\) м), \(F_x = 2,0\) Н. \(k = \frac{2,0 \text{ Н}}{0,04 \text{ м}}\) \(k = 50 \text{ Н/м}\) Ответ: 50 Н/м. 7. Тело массой \(m = 1,2\) кг движется по горизонтальной поверхности. Определите модуль силы трения скольжения \(F_{тр}\), действующей на тело, если коэффициент трения о поверхность \(\mu = 0,25\). Решение: Для тела, движущегося по горизонтальной поверхности, сила нормальной реакции опоры \(N\) равна силе тяжести \(mg\). \(N = mg\), где \(g \approx 9,8 \text{ м/с}^2\) (или \(10 \text{ м/с}^2\) для упрощения расчетов, если не указано иное. Будем использовать \(g = 10 \text{ м/с}^2\)). \(N = 1,2 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2 = 12\) Н. Сила трения \(F_{тр} = \mu N\). Дано: \(m = 1,2\) кг \(\mu = 0,25\) \(F_{тр} = 0,25 \cdot 12\) Н \(F_{тр} = 3\) Н Ответ: 3 Н. 8. На тело массой \(m = 7,0\) кг, расположенное на горизонтальной поверхности, действует горизонтальная сила, модуль которой \(F = 28\) Н. Определите коэффициент трения между телом и поверхностью, если тело движется с ускорением, модуль которого \(a = 2,5 \text{ м/с}^2\). Решение: На тело действуют следующие силы: 1. Сила тяжести \(mg\), направленная вниз. 2. Сила нормальной реакции опоры \(N\), направленная вверх. На горизонтальной поверхности \(N = mg\). 3. Горизонтальная сила \(F\), направленная в сторону движения. 4. Сила трения \(F_{тр}\), направленная против движения. По второму закону Ньютона в горизонтальном направлении: \(F - F_{тр} = ma\). Отсюда \(F_{тр} = F - ma\). Также \(F_{тр} = \mu N = \mu mg\). Значит, \(\mu mg = F - ma\). Отсюда \(\mu = \frac{F - ma}{mg}\). Дано: \(m = 7,0\) кг \(F = 28\) Н \(a = 2,5 \text{ м/с}^2\) \(g = 10 \text{ м/с}^2\) \(\mu = \frac{28 \text{ Н} - 7,0 \text{ кг} \cdot 2,5 \text{ м/с}^2}{7,0 \text{ кг} \cdot 10 \text{ м/с}^2}\) \(\mu = \frac{28 \text{ Н} - 17,5 \text{ Н}}{70 \text{ Н}}\) \(\mu = \frac{10,5 \text{ Н}}{70 \text{ Н}}\) \(\mu = 0,15\) Ответ: 0,15. 9. Брусок массой \(m = 3,3\) кг движется по гладкой горизонтальной поверхности под действием силы \(F = 31\) Н, направленной под углом \(\alpha = 30^\circ\) к горизонту (рис. 14). Определите модуль ускорения бруска \(a\). Решение: На рис. 14 сила \(F\) направлена под углом \(\alpha\) к горизонту. Разложим силу \(F\) на две составляющие: Горизонтальная составляющая: \(F_x = F \cos \alpha\). Вертикальная составляющая: \(F_y = F \sin \alpha\). Поскольку поверхность гладкая, сила трения отсутствует. По второму закону Ньютона в горизонтальном направлении: \(F_x = ma\) \(F \cos \alpha = ma\) Отсюда \(a = \frac{F \cos \alpha}{m}\). Дано: \(m = 3,3\) кг \(F = 31\) Н \(\alpha = 30^\circ\) \(\cos 30^\circ \approx 0,866\) \(a = \frac{31 \text{ Н} \cdot \cos 30^\circ}{3,3 \text{ кг}}\) \(a = \frac{31 \cdot 0,866}{3,3}\) \(a = \frac{26,846}{3,3}\) \(a \approx 8,135\) м/с\(^2\) Округлим до сотых: \(a \approx 8,14\) м/с\(^2\). Ответ: 8,14 м/с\(^2\). 10. Два цилиндра массами \(m_1 = m\) и \(m_2 = 1,1m\) удерживаются на одном уровне на невесомой нерастяжимой нити, перекинутой через лёгкий блок радиусом \(R = 17\) см (рис. 15). Определите центростремительное ускорение \(a_ц\) нижней лежащей к поверхности блока, через промежуток времени \(\Delta t = 3,0\) с после того, как цилиндры отпустили. Примечание. Силы трения и сопротивления в системе не учитывайте, нить не проскальзывает по блоку. Решение: Это задача на систему Атвуда. Дано: \(m_1 = m\) \(m_2 = 1,1m\) \(R = 17\) см \( = 0,17\) м \(\Delta t = 3,0\) с Сначала найдём ускорение системы \(a\). На \(m_1\) действуют сила тяжести \(m_1g\) вниз и сила натяжения нити \(T_1\) вверх. На \(m_2\) действуют сила тяжести \(m_2g\) вниз и сила натяжения нити \(T_2\) вверх. Поскольку \(m_2 > m_1\), \(m_2\) будет опускаться, а \(m_1\) подниматься. Для \(m_1\): \(T_1 - m_1g = m_1a\) Для \(m_2\): \(m_2g - T_2 = m_2a\) Так как нить невесомая и нерастяжимая, а блок лёгкий, \(T_1 = T_2 = T\). Сложим уравнения: \(T - m_1g + m_2g - T = m_1a + m_2a\) \((m_2 - m_1)g = (m_1 + m_2)a\) \(a = \frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2}\) Подставим \(m_1 = m\) и \(m_2 = 1,1m\): \(a = \frac{(1,1m - m)g}{m + 1,1m}\) \(a = \frac{0,1mg}{2,1m}\) \(a = \frac{0,1g}{2,1} = \frac{1}{21}g\) Используем \(g = 10 \text{ м/с}^2\): \(a = \frac{10}{21} \text{ м/с}^2 \approx 0,476 \text{ м/с}^2\). Теперь найдём скорость \(v\) цилиндров через \(\Delta t = 3,0\) с. Начальная скорость \(v_0 = 0\), так как цилиндры отпустили. \(v = v_0 + a\Delta t = 0 + a\Delta t = a\Delta t\). \(v = \frac{10}{21} \text{ м/с}^2 \cdot 3,0 \text{ с} = \frac{30}{21} \text{ м/с} = \frac{10}{7} \text{ м/с}\). \(v \approx 1,4286 \text{ м/с}\). Центростремительное ускорение \(a_ц\) нижней лежащей к поверхности блока точки (то есть точки на ободе блока, через которую проходит нить) определяется по формуле: \(a_ц = \frac{v^2}{R}\). Здесь \(v\) – это линейная скорость точек на ободе блока, которая равна скорости движения нити, а значит, и скорости цилиндров. \(a_ц = \frac{(\frac{10}{7} \text{ м/с})^2}{0,17 \text{ м}}\) \(a_ц = \frac{\frac{100}{49}}{0,17}\) \(a_ц = \frac{100}{49 \cdot 0,17}\) \(a_ц = \frac{100}{8,33}\) \(a_ц \approx 12,0048\) м/с\(^2\). Округлим до сотых: \(a_ц \approx 12,00\) м/с\(^2\). Ответ: 12,00 м/с\(^2\).