Решение задачи: Прямые, перпендикулярные одной прямой

Ниже представлены решения задач с карточки, оформленные для записи в тетрадь. Задача 1 Вопрос: Прямые \(a\) и \(b\) перпендикулярны одной и той же прямой \(c\). Могут ли прямые \(a\) и \(b\) пересекаться? Быть скрещивающимися? Ответ: 1) Да, могут пересекаться. Например, в пространстве через точку на прямой \(c\) можно провести бесконечно много прямых, перпендикулярных ей. Если \(a\) и \(b\) проходят через одну точку на прямой \(c\), они пересекаются. 2) Да, могут быть скрещивающимися. Если прямые \(a\) и \(b\) проходят через разные точки прямой \(c\) и лежат в разных плоскостях, перпендикулярных \(c\), они будут скрещивающимися. 3) Также они могут быть параллельными, если лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Задача 2 (Левая часть) Дано: \(ABCD\) — квадрат, \(KC \perp (ABCD)\), \(KA = \sqrt{34}\) см, \(AC = 3\sqrt{2}\) см. Найти: \(KB\). Решение: 1) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(KCA\) (угол \(C = 90^\circ\), так как \(KC\) перпендикулярна плоскости). По теореме Пифагора: \[KC^2 = KA^2 - AC^2\] \[KC^2 = (\sqrt{34})^2 - (3\sqrt{2})^2 = 34 - 18 = 16\] \[KC = 4 \text{ см}\] 2) Так как \(ABCD\) — квадрат, найдем его сторону \(BC\) через диагональ \(AC\): \[AC = BC \cdot \sqrt{2} \Rightarrow BC = \frac{AC}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3 \text{ см}\] 3) Рассмотрим прямоугольный треугольник \(KCB\) (угол \(C = 90^\circ\)). По теореме Пифагора: \[KB = \sqrt{KC^2 + BC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}\] Ответ: \(KB = 5\) см. Задача 2 (Правая часть) Дано: \(ABCD\) — квадрат, \(KC \perp (ABCD)\), \(BC = 2\) см, \(KB = \sqrt{21}\) см. Найти: \(KA\). Решение: 1) Из прямоугольного треугольника \(KCB\) (угол \(C = 90^\circ\)) найдем \(KC\): \[KC^2 = KB^2 - BC^2 = (\sqrt{21})^2 - 2^2 = 21 - 4 = 17\] 2) Найдем диагональ квадрата \(AC\): \[AC = BC \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \text{ см}\] 3) Из прямоугольного треугольника \(KCA\) (угол \(C = 90^\circ\)) найдем \(KA\): \[KA = \sqrt{KC^2 + AC^2} = \sqrt{17 + (2\sqrt{2})^2} = \sqrt{17 + 8} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}\] Ответ: \(KA = 5\) см. Задача 3 (Левая часть) Дано: \(ABCD\) — ромб, \(O\) — точка пересечения диагоналей, \(SO \perp (ABCD)\). Доказать: \(AC \perp (BSD)\). Доказательство: 1) По свойству ромба его диагонали перпендикулярны, значит \(AC \perp BD\). 2) Так как \(SO \perp (ABCD)\), то прямая \(SO\) перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, следовательно \(SO \perp AC\), или \(AC \perp SO\). 3) Прямая \(AC\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(BD\) и \(SO\), лежащим в плоскости \(BSD\). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости: \(AC \perp (BSD)\). Что и требовалось доказать. Задача 3 (Правая часть) Дано: \(\triangle ABC\), \(\angle C = 90^\circ\), \(MC \perp (ABC)\). Доказать: \(AC \perp (MBC)\). Доказательство: 1) Так как треугольник \(ABC\) прямоугольный с гипотенузой \(AB\), то катеты перпендикулярны: \(AC \perp BC\). 2) Так как \(MC \perp (ABC)\), то прямая \(MC\) перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, значит \(MC \perp AC\), или \(AC \perp MC\). 3) Прямая \(AC\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(BC\) и \(MC\), лежащим в плоскости \(MBC\). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости: \(AC \perp (MBC)\). Что и требовалось доказать.